remember me
remember me - Ominide - 31 Punti
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Si consideri il fascio determinato dalle due circonferenze
x^2+y^2-2x+2y-8=0 e x^2+y^2-4x-2y=0
1)Trovare l'equazione della circonferenza del fascio
a)tangente alla retta x-2y-4=0
b)che stacca sulla retta x-y-4=0 una corda di misura 5radice2
c)che interseca gli assi del sistema di riferimento in punti che determinano un quadrilatero la cui area misura 70

2) Determinare il centro delle circonferenze aventi il raggio di misura 5


Non so nemmeno da dove iniziare! in tutto questo ho solo trovato l'asse radicale che è x+2y-4

Se potete me li spiegate passaggio per passaggio? grazie :)
BIT5
BIT5 - Mito - 28446 Punti
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per avere il fascio e' sufficiente moltiplicare una delle due circonferenze (dette generatrici del fascio) per un parametro k, e sommarle....

[math] x^2+y^2-2x+2y-8+k(x^2+y^2-4x-2y)=0 \to \\ \\ \\ \\ x^2+y^2-2x+2y-8+kx^2+ky^2-4kx-2ky=0 [/math]

a questo punto ordini i monomi secondo le potenze di x e y, in ordine e ottieni

[math] x^2+kx^2+y^2+ky^2-2x-4kx+2y-2ky-8=0 [/math]

e raccogli le variabili (anziche' la k altrimenti torni da principio...)

[math] (1+k)x^2+(1+k)y^2+(-2-4k)x+(2-2k)y-8=0 [/math]

che e' il fascio cercato

Aggiunto 14 minuti più tardi:

a) la retta e' tangente se la distanza dal centro della circonferenza e' pari al raggio

Dovremo quindi calcolare le coordinate del centro del fascio (variabili a seconda del paramentro) e fare in modo che la distanza del centro dalla retta, sia pari al raggio

Il centro della circonferenza (fascio) sara'

[math] x_C=- \frac{a}{2} = - \frac{-2-4k}{2} = 1+2k \\ \\ \\ y_C=- \frac{b}{2} = - \frac{2-2k}{2} = k-1 [/math]

mentre il raggio sara'

[math] r= \sqrt{x_C^2+y_C^2-c} = \sqrt{(1+2k)^2+(k-1)^2 + 8} = \\ \\ \\ \\ = \sqrt{(1+4k+4k^2+k^2-2k+1+8} = \sqrt{5k^2+2k+10} [/math]

la distanza tra la retta x-2y-4=0 e il centro sara' (ricordi la formula?...) sara'

[math] \frac{|(1+2k)-2(k-1)-4|}{\sqrt{1+4}} \to \frac{|1+2k-2k+2-4|}{\sqrt5} \to \frac{1}{\sqrt5} [/math]

come vedi la distanza della retta dal centro, non dipende dal parametro. Questo implica che il centro della circonferenza, si muove su una retta parallela alla retta data.

Quindi, in sintesi, dovrai fare in modo che il raggio sia
[math] \frac{1}{\sqrt5} [/math]
quindi risolvere l'equazione
[math] r= \frac{1}{\sqrt5} [/math]
(ovvero razionalizzando
[math] r= \frac{\sqrt5}{5}[/math]

e dunque

[math] \sqrt{5k^2+2k+10} = \frac{\sqrt5}{5} [/math]

quindi elevando al quadrato

[math] 5k^2+2k+10 = \frac15 [/math]

risolvi l'equazione e trovi il valore di k che soddisfa l'equazione :)

Se riesci (o hai dubbi) fammi sapere che andiamo avanti (o ti spiego meglio)
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