PabloIbbieta
PabloIbbieta - Erectus - 50 Punti
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Salve,mi servirebbe una mano con questo esercizo.

-Scrivere l'equazione della curva che si ottiene sottoponendo l'ellisse di equazione 4=4x^2+y^2 a un'omotetia con centro nell'origine e rapporto k=2.Qual'è il rapporto tra i semiassi dell'ellisse trasformata e quelli dell'ellisse data?Cosa si può dire dell'eccentricità delle due curve?

Ovviamente con omotetia si intende quella trasformazione che a un generico punto P(x,y) fa corrispondere un punto P'(kx,ky) e le cui equazioni sono : x'=kx e y'=ky con k diverso da zero.


Ho provato così:

4=4x^2+y^2 -->x^2+(y^2\4)=1

x'=2x-->x=x'\2
y'=2y-->y=y'\2

che sostituendo nell'ellisse x'^2+4y'^2=4

ma il risultato non corrisponde a quello riportato sul libro.

Aggiunto 2 giorni più tardi:

nessuno che sappia risolverlo?
BIT5
BIT5 - Mito - 28446 Punti
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Non so quale sia il risultato del libro, pero':

[math] x=kx' \ y=ky'2 [/math]
con k=2
Quindi

[math] 4=4x^2+y^2 \to 4=4(2x')^2+(2y')^2 \\ \to 4=16x'^2+4y'^2 \to 1=4x'^2+y'^2 [/math]

Altrimenti posta il risultato che valutiamo insieme dove sia l'errore.

Nel tuo caso, mi sembra che tu non abbia elevato al quadrato k, che partecipando all'omotetia delle incognite, dev'essere elevato anch'esso al quadrato.
PabloIbbieta
PabloIbbieta - Erectus - 50 Punti
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Il risultato riportato dal testo è quello che ha trovato e ho anche capito il mio errore.
Vorrei sapere inoltre cos'è il centro di simmetria di una curva e come calcolarlo,grazie.
BIT5
BIT5 - Mito - 28446 Punti
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Il centro di simmetria e' quel punto tale che presa una qualsiasi retta di fascio avente centro in questo punto, ogni retta incontra la curva in nessuno o in coppie di punti tutte della forma (x,y) e (-x,-y)

Nel caso dell'ellisse trovata (l'omotetica) abbiamo

[math] 1=4x^2+y^2 \to 4x^2+y^2-1=0[/math]

L'ellisse non e' una funzione dal momento che per ogni x non troviamo una sola y (corrispondenza univoca) bensi' due.

Quindi bisognerebbe studiare il centro di simmetria per i due "pezzi" ovvero

[math] y^2=1-4x^2 \to y= \pm \sqrt{1-4x^2} [/math]

E considerare il primo pezzo (ovvero quello con il +) e il secondo (ovvero quello con il - davanti)

In questo caso sappiamo pero' che abbiamo provveduto a trovare un omotetia di un'ellisse che ha centro nell'origine.

quindi prima di tutto, proverei a vedere se la curva e' simmetrica rispetto all'origine.

Dal momento che sostituendo a x il valore -x e a y il valore -y la curva non cambia, la curva e' simmetrica rispetto agli assi e pertanto il centro di simmetria e' il punto di intersezione tra gli assi e quindi l'origine.

Se invece la domanda era riferita ad altri casi, postami la curva di cui devi trovare il centro di simmetria.
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