the.track
the.track - Genius - 12440 Punti
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Dato l'insieme

[math]S=
\begin{Bmatrix}
\binom{\lambda -2\\
3\mu +1}{\lambda -\mu -1},\; \lambda , \mu \in \mathbb{R}
\end{Bmatrix}[/math]

determinare un sistema lineare le cui soluzioni coincidano con S. Quante saranno le incognite? Qual è il numero minimo di equazioni necessarie?

Ho abbozzato ad una soluzione ma viene sbagliata rispetto a quella che dà la prof... e non credo sia la prof a sbagliare.
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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Prima di scrivere il sistema puoi, direttamente rispondere alle domande in questione. Dal momento che la soluzione è un vettore a 3 componenti, le incognite sono tre. In più, essendo lo spazio delle soluzioni uno spazio vettoriale di dimensione 2 (dipende da due parametri) questo vuol dire (per il teorema di Rouché-Capelli) che hai bisogno di 3-2=1 equazioni effettive. Vediamo un po' come determinarle.

Poniamo

[math]x=\lambda-2,\ \ y=3\mu+1,\ \z=\lambda-\mu-1[/math]

Risolvendo le prime due rispetto a
[math]\lambda,\ mu[/math]
otteniamo
[math]\lambda=x+2,\qquad \mu=\frac{1}{3}(y-1)[/math]

e quindi sostituendo nella terza equazione

[math]z=x+1+\frac{y}{3}-\frac{1}{3}[/math]

o ancora

[math]3x+y-3z=-2[/math]

che è l'unica equazione di cui hai davvero bisogno. A questo punto puoi costruire altre equazioni "fittizie" partendo da quella che ho scritto (moltiplicando per costanti non nulle oppure spezzando la precedente in somme).

Un altro metodo è quello di scrivere in generale il sistema nella forma

[math]A\mathbf{x}=\mathbf{0}[/math]

dove
[math]A, \mathbf{x}, \mathbf{0}[/math]
sono rispettivamente la matrice dei coefficienti, il vettore delle incognite e il vettore nullo e pensare allo spazio delle soluzioni come il nucleo dell'applicazione lineare associata alla matrice
[math]A[/math]
. Questo ti dice che il nucleo ha dimensione 2 e che i vettori dello spazio
[math]S[/math]
sono i suoi elementi: scegliendo
[math]\lambda=1,\mu=0[/math]
o
[math]\lambda=0,\mu=1[/math]
trovi una base di esso e da questa puoi risalire a costruire l'immagine dell'applicazione, che sarà formata da 3 equazioni lineari nelle incognite x,y,z, le quali rappresentano il sistema da te cercato. (ma è una roba lunga e sinceramente non mi va di farla adesso!)
the.track
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Grazie mille. Allora credo abbia sbagliato la prof dicendo che le equazioni necessarie devono essere 2.
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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# the.track : Grazie mille. Allora credo abbia sbagliato la prof dicendo che le equazioni necessarie devono essere 2.

E come lo ha applicato Rouché-Capelli? Chi è sto genio?
the.track
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Poiché S è un sottoinsieme di
[math]\mathbb{R}^4[/math]
, le incognite del sistema saranno 4. Inoltre poiché le soluzioni del sistema omogeneo associato dipendono da 2 parametri il numero minimo di equazioni (ossia il rango della matrice associata al sistema) sarà 4-2=2. Un sistema cercato è:
[math]\begin{case}3x_2 - 2x_3 = 5\\
2x_1 - x_2 - 2x_4 = 5
\end{case} [/math]

Questa è la sua soluzione copiata alla lettera. Uno dei nostri problema era come ha fatto a dire a priori e con esclusività che S è sosttoinsieme di
[math]\mathbb{R}^4[/math]
. Per come la vedo io è sottoinsieme di anche di
[math]\mathbb{R}^5[/math]
o di
[math]\mathbb{R}^{562}[/math]
.
Sbaglio?
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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Track.... dove hai scritto nella traccia che
[math]S\subseteq \mathbb{R}^4[/math]
?
Quello che mi chiedo è se questo esercizio non faccia parte di qualcosa di più grande, per cui lei sa a priori che vale quella condizione. Ad esempio, può essere che S sia il nucleo di una applicazione da
[math]\mathbb{R}^4[/math]
in qualcos'altro... e in ogni caso, andrebbe scritto.
Comunqeu, se è così, allora la soluzione è quella che dice lei.
the.track
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No io ti ho copiato il testo dell'esercizio e la relativa esecuzione da lei fatta. Non ci sono riferimenti ad altri esercizi o a situazioni particolari.
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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Allora non capisco da dove possa affermare che S sia un sottospazio di uno di dimensione 4! Potrebbe essere anche un sottospazio di uno a dimensione
[math]\omega\in\mathbb{R}[/math]
(cioè analitico!).
Se lo afferma, da qualche parte lo dovrà pure tirare fuori... oppure semplicmente s'è scordata di dirvelo!

Che poi, tra l'altro.... se il vettore delle soluzioni ha 3 componenti... allora S è un sottospazio di uno di dimensione 3!!!!!!!!!

Aggiunto 9 minuti più tardi:

Ed ammetenndo anche che abbia ragione.... a me quel sistema che ha scritto lei non dà quello che hai scritto tu come soluzione!

Questa risposta è stata cambiata da ciampax (07-02-10 19:11, 6 anni 10 mesi 2 giorni )
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Ieri le ho mandato una mail. Oggi mi ha risposto ed ha confermato che quella non era la soluzione dell'esercizio. Quindi ora è tutto posto. Grazie mille ciampolino!! :gratta :gratta :love :love :lol
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