Ka90
Ka90 - Habilis - 162 Punti
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perchè una funzione continua in un punto non è detto ke sia derivabile in quel punto,ma se è derivabile è sicuro continua in quel punto?Risp dettagliate please
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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E' una cosa abbastanza semplice. Ti dimostro prima che la derivabilità implica la continuità. Allora, supponiamo che esista finito
[math]f'(x_0)[/math]
: questo vuol dire che
[math]\lim_{x\rightarrow x_0^{\pm}}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=f'(x_0)[/math]

e questa cosa la puoi tradurre nella forma seguente

[math](1)\qquad f(x)-f(x_0)=(x-x_0)\cdot f'(x_0)+\omega(x)[/math]

dove
[math]\lim_{x\rightarrow x_0^{\pm}}\omega(x)=0[/math]
. A questo punto se fai il limite della (1) per
[math]x\rightarrow x_0^{\pm}[/math]
ottieni
[math]\lim_{x\rightarrow x_0^{\pm}}[f(x)-f(x_0)]=0[/math]

(tutto quello che c'è a destra dell'uguale tende a zero) e quindi ottieni che

[math]\lim_{x\rightarrow x_0^{\pm}} f(x)=f(x_0)[/math]

che è la definizione di continuità.


Per dimostrare che il viceversa non vale, ti basta esibire un controesempio: considera la funzione
[math]g(x)=|x|[/math]
(il valore assoluto di x). Ovviamente tale funzione è continua in
[math]x=0[/math]
poiché
[math]\lim_{x\rightarrow 0}|x|=0[/math]

ma non è derivabile poiché

[math]\lim_{x\rightarrow 0^+}\frac{g(x)-g(0)}{x-0}=\lim_{x\rightarrow 0^+}\frac{|x|}{x}=\lim_{x\rightarrow 0^+}\frac{x}{x}=1[/math]

mentre

[math]\lim_{x\rightarrow 0^-}\frac{g(x)-g(0)}{x-0}=\lim_{x\rightarrow 0^-}\frac{|x|}{x}=\lim_{x\rightarrow 0^-}\frac{-x}{x}=-1[/math]

e quindi le derivate destra e sinistra in
[math]x=0[/math]
sono differenti e la funzione
[math]g(x)[/math]
non risulta derivabile. Se hai bisogno di ulteriori spiegazioni chiedi.
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