BlackAngel
BlackAngel - Genius - 2009 Punti
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Tracciare il grafico della funzione
[math]y=sqrt{1+2x-|x|}[/math]
, determinandone dominio e codominio.
Per trovare il dominio, pongo:

[math]1+2x-|x|\geq o[/math]

[math]1+2x\geq |x|[/math]

Ora considero i due casi del modulo
1)
[math]1+2x \leq -x[/math]
[math]1+2x+x\leq 0[/math]
[math]x\leq\frac{-1}{3}[/math]

2)
[math]1+2x\geq x[/math]
[math]1+2x-x\geq0[/math]
[math]x\geq -1[/math]

E quindi risolvendo il grafico ottengo che il dominio è uguale a
[math][\frac{-1}{3};+infinito[[/math]
e mi ritrovo con il libro.
Poi per calcolare la funzione inversa,ho fatto:
[math]y^2=1+2x-|x|[/math]
[math]|x|-2x=1-y^2[/math]
Ma qui mi sono bloccata, non riesco a risolverla perchè è presente 1 modulo... Per favore mi aiutate a capire?
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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Perché cambi segno alla diseguaglianza? Sbagli!

Nel caso in cui x<0, devi risolvere la disequazione
[math]1+2x\geq -x[/math]
, per cui
[math]x\geq -1/3[/math]
e dovendo essere anche x<0,
[math]-1/3\leq x<0[/math]

Nell'altro caso, la disequazione è
[math]1+2x\geq x[/math]
e quindi
[math]x\geq -1[/math]
, da cui
[math]x\geq 0[/math]
.
Quindi il dominio è
[math][-1/3,+\infty)[/math]
.
Poiché, dal dominio, ricavi che l'argomento della radice è un qualsiasi numero maggiore o uguale a zero, segue che il codominio è l'insieme dei numeri reali maggiori o uguali a zero.

Per la funzione inversa devi separare i casi: se
[math]x\geq 0[/math]
ottieni
[math]x-2x=1-y^2\ \qquad\ -x=1-y^2\ \qquad\ x=y^2-1[/math]

mentre per
[math]-1/3\leq x<0[/math]
hai
[math]-x-2x=1-y^2\ \qquad\ x=\frac{y^2-1}{3}[/math]

Dalla prima, visto che i valori di x devono essere maggiori o uguali di zero ricavi che
[math]y^2-1\geq 0[/math]
da cui
[math]y\leq-1,\ y\geq 1[/math]
. Dalla seconda, dovendo essere
[math]-1/3\leq x<0[/math]
si ha
[math]-1/3\leq \frac{y^2-1}{3}<0\ \qquad\ -1\leq y^2-1<0\ \qquad 0\leq y^2<1[/math]

e quindi i valori
[math]-1<y<1[/math]
. Essendo però il codominio della funzione originale formato dai soli numeri maggiori o uguali a zero, devi eleiminare i valori delle y negative. In definitiva la funzione inversa è
[math]x=\left\{\begin{array}{lcl}
y^2-1 & & y\geq 1\\ \frac{y^2-1}{3} & & 0\leq y<1
\end{array}\right.
[/math]

Uff, che sudata! :asd
mitraglietta
mitraglietta - Mito - 62599 Punti
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mitico ciampax!
BlackAngel
BlackAngel - Genius - 2009 Punti
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Apprezzo molto la tua "sudata", ma ti giuro che mi è servita... Grazie mille al cubo, anzi no Grazie all'infinito!!:hi
mitraglietta
mitraglietta - Mito - 62599 Punti
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ok, perfetto! posso chiudere?
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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Prego. Chiudo!
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