stranger91
stranger91 - Sapiens Sapiens - 1183 Punti
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Salve ho questi 2 esercizi da risolvere sulle funzioni continue , io non so come
iniziare
nel primo il libro mi chiede di verificare se la seguente funzione è continua nel punto segnato a fianco utilizzando la definizione di funzione continua
1)
[math]f(x)= 2 - 3x^2[/math]
con Xo =1
nel secondo esercizio mi chiede in quali punti nn è continua la funzione se ci sono
2)
[math]f(n)=\left\{\begin{matrix} -1/2x, & \mbox{per}\mbox{x \le \0} \\ x^2+1, & \mbox{per }\mbox{x >0}
\end{matrix}\right.
[/math]

grazie a titti in anticipo
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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Quale è al definizione di funzione continua? Se la sai, ci vuole un secondo a fare gli esercizi.
stranger91
stranger91 - Sapiens Sapiens - 1183 Punti
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allora una funzione si dice continua in un punto quando in quel punto coincide con il suo limite
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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Detto meglio: sia
[math]x_0[/math]
un punto di accumulazione per
[math]f[/math]
appartenente al dominio della funzione. Allora
[math]f[/math]
è continua in
[math]x_0[/math]
se
[math]\forall\ \epsilon>0\ \exists\ \delta_\epsilon>0\ :\ |x-x_0|<\delta_\epsilon\ \Rightarrow\ |f(x)-f(x_0)|<\epsilon[/math]

Per la prima funzione, dunque, devi applicare la definizione: allora devi risolvere la disequazione

[math]|2-3x^2-(2-3)|<\epsilon\ \Rightarrow\ |3x^2-3|<\epsilon[/math]
e quindi il sistema
[math]3x^2-3<\epsilon,\quad 3x^2-3>-\epsilon[/math]

o anche

[math]x^2-\left(1+\frac{\epsilon}{3}\right)<0,\quad x^2-\left(1-\frac{\epsilon}{3}\right)>0[/math]

Le due disequazioni danno come soluzione

[math]-\sqrt{1+\frac{\epsilon}{3}}<x<\sqrt{1+\frac{\epsilon}{3}}\\ x<-\sqrt{1-\frac{\epsilon}{3}},\ \ x>\sqrt{1-\frac{\epsilon}{3}}[/math]

e quindi il sistema ha soluzione

[math]-\sqrt{1+\frac{\epsilon}{3}}<x<-\sqrt{1-\frac{\epsilon}{3}}\\ \sqrt{1-\frac{\epsilon}{3}}<x<\sqrt{1+\frac{\epsilon}{3}}[/math]

La seconda soluzione rappresenta un intorno del punto 1 e quindi dimostra che la funzione è continua.


Nel secondo esercizio, invece, osserva che la parte della funzione definita per
[math]x> 0[/math]
è sempre definita (è un polinomio), mentre per
[math]x\leq 0[/math]
la funzione non è definita in
[math]x=0[/math]
. Visto che
[math]\lim_{x\to 0^+} f(x)=1,\qquad \lim_{x\to 0^-} f(x)=+\infty[/math]

la funzione non è continua nell'origine, dove presenta una discontinuità di seconda specie (un limite va ad infinito).
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