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  • Funzioni a tre variabili: metodo grafico e Lagrange per massimi e minimi vincolati_NON PORTA!

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PrInCeSs Of MuSiC
PrInCeSs Of MuSiC - Genius - 76233 Punti
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Ciao a tutti, stranamente oggi ho un problema che non riesco a risolvere: in principio pensavo che a sbagliare fosse stato il libro, mentre ora eseguendolo con Geogebra e Derive non so più cosa fare.

Il problema è questo:
[math]z=x^2+y^2+2y-2x-1[/math]
s.a
[math]x^2+y^2-1=0[/math]
Siamo quindi di fronte a circonferenze soggette a circonferenza.
La circonferenza vincolo ha centro 0;0 e raggio 1.
Le curve di livello hanno centro 1;-1 e
[math]r=sqrt{3+z}[/math]
da cui deduco che
[math]z\ge-3[/math]
A questo punto lo risolvo con il metodo grafico, trovando la retta passante per i due centri:
[math]y=-x[/math]
La metto a sistema con l'equazione delle CDL
[math]x^2+y^2+2y-2x-1=0[/math]
Svolgendo, poi, ottengo:
[math]x^2+x^2-2x-2x-1=0[/math]
[math]2x^2-4x-1=0[/math]
Risolvo l'equazione:
[math]x_{1,2}=\frac{2\pm sqrt{4+2}}{2}[/math]
[math]x_1=\frac{2+sqrt{6}}{2}[/math]
[math]x_1=\frac{2-sqrt{6}}{2}[/math]
Avendo visto che non portano come i risultati del libro, ho provato con il metodo Lagrange, avendo come risultato i punti
[math]A_{MIN}=(\frac{1}{\sqrt{2}};\frac{-1}{\sqrt{2})[/math]
e
[math]B_{MAX}=(\frac{-1}{\sqrt{2}};\frac{1}{\sqrt{2})[/math]
.. e questi sono anche i risultati del libro.. la mia domanda è: Perché non porta il metodo grafico?
Grazie.
Vostra POM.
bimbozza
bimbozza - Genius - 19548 Punti
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sbagli nel procedimento:

mettiamo in sistema l'equazione delle curve di livello col vincolo:
[math]\left{
x^2+y^2+2y-2x-1=k\\
x^2+y^2=1[/math]

[math]\left{
2y \pm 2\sqrt{1-y^2}=k\\
x= \pm \sqrt{1-y^2}[/math]

risolviamo la prima equazione elevando al quadrato

[math]\left{
4(1-y^2)=k^2+4y^2-4ky\\
x= \pm \sqrt{1-y^2}[/math]


[math]\left{
8y^2-4ky+k^2-4=0\\
x= \pm \sqrt{1-y^2}[/math]
*
impongo il delta=0
[math]\Delta=4k^2-8k^2+32=-4k^2+32=0[/math]
da cui
[math]k= \pm2 \sqrt 2[/math]
sostituiamoli in *

per k positivo

[math]\left{
8y^2-8 \sqrt2 y+8-4=0\\
x= \pm \sqrt{1-y^2}[/math]

[math]\left{
2y^2-2 \sqrt2 y+1=0\\
x= \pm \sqrt{1-y^2}[/math]
che ha soluzioni

[math]\left{
y=1/sqrt2\\
x= \pm 1/sqrt2[/math]

per k negativo

[math]\left{
8y^2+8 \sqrt2 y+8-4=0\\
x= \pm \sqrt{1-y^2}[/math]

[math]\left{
2y^2+2 \sqrt2 y+1=0\\
x= \pm \sqrt{1-y^2}[/math]
che ha soluzioni

[math]\left{
y=-1/sqrt2\\
x= \pm 1/sqrt2[/math]
PrInCeSs Of MuSiC
PrInCeSs Of MuSiC - Genius - 76233 Punti
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Mai fatto questo procedimento, grazie dell'aiuto, è chiarissimo!
bimbozza
bimbozza - Genius - 19548 Punti
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Questo è il procedimento che conosco io... poi, se si fa anche attraverso la retta passante per i centri, non lo sò... onestamente non l'ho mai visto fare così e non ne capisco il ragionamento che si stà dietro, ma tutto ci stà... ^.^ Comunque sono contenta che ti sia tutto chiaro.

:hi

Stefania
PrInCeSs Of MuSiC
PrInCeSs Of MuSiC - Genius - 76233 Punti
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Nell'esercizio fatto in classe io ho trovato l'equazione della retta passante x i centri e poi l'ho messa a sistema con l'equazione del vincolo.. Trovando le ascisse dei due punti! Ecco cosa avevo sbagliato, l'ho messa a sistema con le CDL!

Aggiunto 1 minuto più tardi:

Ogni volta faccio sempre errori di distrazione :-(
bimbozza
bimbozza - Genius - 19548 Punti
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grazie per avermelo detto, così ho imparato un altro metodo ^.^
PrInCeSs Of MuSiC
PrInCeSs Of MuSiC - Genius - 76233 Punti
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Prego! Io preferisco usare questo perché è più semplice nei calcoli e anche più intuitivo!!
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