martinanarzo91
martinanarzo91 - Ominide - 41 Punti
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ciao ragazzi, qualcuno ha una vaga idea di come si svolge un esercizio sulle funzioni, precisamente nel punto intersezioni con gli assi, quando c'è la f(X) fratta?
romano90
romano90 - Genius - 8755 Punti
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Se hai per esempio, una funzione fratta di questo tipo:

[math]f(x) = \frac{x+1}{x^2-2x+1}[/math]

Ti trovi l'intersezione con l'asse y sostituendo 0 alla x (infatti l'asse y ha equazione x=0)

[math]\begin{cases} x = 0 \\ y= \frac{x+1}{x^2-2x+1} \end{cases} \to \begin{cases} x = 0 \\ y= \frac{0+1}{0^2-2*0+1} \end{cases} \to A(0,1) [/math]

Per l'intersezione con l'asse x devi risolvere l'equazione della tua funzione e trovarne i valori in cui si annulla.

[math]\begin{cases} y=0 \\ y=\frac{x+1}{x^2-2x+1}\end{cases}[/math]

Ora fai la condizione di esistenza per il denominatore, escludendo i valori in cui si annulla.

[math]x^2-2x+1 \ne 0 \to x \ne 1[/math]

Così puoi semplificare il denominatore e risolvere l'equazione.

[math]\begin{cases} y=0 \\ y=x+1 \end{cases} \to x+1=0 \to x=-1 \to B(-1,0)[/math]

Quindi la nostra funzione incontra l'asse y nel punto A(0,1) e l'asse x nel punto B(-1,0)


Spero di averti chiarito un po' le idee...
aleio1
aleio1 - Mito - 18949 Punti
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guarda avevo chiuso il topic ma poi ho avuto un po' di compassione..
ti sembra una domanda ben posta quella??
ad ogni modo, se ho capito bene la domanda, hai problemi a trovare le intersezioni del grafico della funzione con i due assi cartesiani quando la funzione si presenta sotto forma di frazione algebrica.

Allora consideriamo la funzione
[math]f(x)=\frac{3x^2-5x+1}{6x-5}[/math]

Sai che l'equazione dell'asse
[math]x [/math]
è
[math]y=0[/math]
(dato che i punti che vi giacciono hanno ordinata nulla).
Sai anche che l'equazione dell'asse
[math]y [/math]
è
[math]x=0[/math]
(per un motivo analogo a prima).
Ora per trovare le intersezioni tra due curve si dovrebbero mettere a sistema le equazioni che le rappresentano. In questo caso però scrivere anche una parentesi graffa per fare un sistema mi sembra esagerato.

Fare il sistema di
[math]f(x)[/math]
con l'equazione dell'asse
[math]y[/math]
significa in buona sostanza sostituire alla variabile
[math]x[/math]
nell'espressione della funzione il valore
[math]0[/math]
e calcolare il numero che ne esce fuori (sempre se il denominatore non si annulli nel punto
[math]x=0[/math]
poichè in tal caso la funzione non ha intersezioni con l'asse delle ordinate).
Analogamente fare il sistema di
[math]f(x)[/math]
con l'equazione dell'asse
[math]x[/math]
significa imporre che l'espressione della funzione si annulli, ovvero porre
[math]f(x)=0[/math]
. Se questa equazione ha soluzioni, queste soluzioni saranno le ascisse dei punti in cui la funzione interseca l'asse delle ascisse.
Tornando alla funzione dell'esempio:
[math]f(x)=\frac{3x^2-5x+1}{6x-5}[/math]

Intersezioni con l'asse
[math]y[/math]
:
[math]f(0)=\frac{3\cdot0^2-5\cdot0+1}{6\cdot0-5}\rightarrow f(0)=-\frac15[/math]
. Dunque
[math]y=-\frac15[/math]
sarà l'intersezione con l'asse dell ordinate.
Intersezioni con l'asse
[math]x[/math]
:
[math]\frac{3x^2-5x+1}{6x-5}=0\rightarrow 3x^2-5x+1=0\rightarrow x_1=\frac{5-sqrt{13}}6 \ \ \ x_2=\frac{5+sqrt{13}}6[/math]
. Queste sono le due ascisse dei punti di intersezione della funzione con l'asse
[math]x[/math]
.
Ricorda infine che una funzione può avere anche infinite intersezioni con l'asse delle ascisse ma al più una con l'asse delle ordinate..
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