BlackAngel
BlackAngel - Genius - 2009 Punti
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Sapendo che
[math]f(x)=\frac{1}{1-x}[/math]
trovare
[math]f(f[f(x)])[/math]

[x]

Date le funzioni
[math]f(x)=arcsenx[/math]
e
[math]g(x)=sqrt{x+\pi}[/math]
determinare gli insiemi di definizione delle funzioni composte:
[math]f[g(x)][/math]
e
[math]g[f(x)][/math]


[math]-\pi\leq\x\leq{1-\pi};\-1\leq\x\leq1[/math]
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Dunque.

la prima e'

[math] \frac{1}{1-f(f(x))} = \frac{1}{1- \frac{1}{1-f(x)}} \\ \frac{1}{1- \frac{1}{1- \frac{1}{1-x}}} [/math]

A questo punto portiamo tutto su una frazione..

[math] \frac{1}{1- \frac{1}{\frac{1-x-1}{1-x}}}= \frac{1}{1- \frac{1-x}{-x}}= \frac{1}{ \frac{-x -(1-x)}{-x}}= \frac{1}{ \frac{-1}{-x}}=x[/math]

Seconda:

[math] f(g(x))=f( \sqrt{x+ \pi})= \arcsin \sqrt{x+ \pi} [/math]

Sapendo che la funzione arcsen e' definita nell'intervallo
[math] [-1;1] [/math]
allora sara'
[math] -1 \le \sqrt{x+ \pi} \le 1 [/math]

Spezzandola, notiamo che
[math] \sqrt{x+ \pi} > -1 [/math]
sempre quando la radice esiste..
Pertanto risolviamo la seconda disequazione (<=1) che ovviamente contemplera' gia' il campo di esistenza della radice

[math] \{x+ \pi \ge 0 \\ (x+ \pi)^2 \le 1 [/math]

da cui la prima sara'
[math] x \ge - \pi [/math]

per la seconda invece e' sufficiente considerare che affinche' il quadrato sia minore di 1 e' sufficiente che l'argomento sia compreso tra -1 e 1

[math] -1 \le x + \pi \le 1 \to -1- \pi \le x \le 1- \pi [/math]

che a sistema con la prima (il C.E.) dara' come risultato finale

[math]- \pi \le x \le 1- \pi [/math]

Per quanto riguarda l'altro caso, la funzione composta sara'

[math] \sqrt{ \arcsin x + \pi} [/math]

E pertanto

essendo x l'argomento di arcsin, avremo che
[math] -1 \le x \le 1 [/math]

la radice invece esistera' quando
[math] \arcsin x + \pi \ge 0 [/math]

siccome arcsin x, quando esiste, da' valori compresi tra
[math] - \pi /2 [/math]
e
[math] + \pi /2 [/math]
, aggiungendo
[math] \pi [/math]
avremo sempre valori positivi e pertanto, quando arcsin esiste, la radice esiste sempre.
quindi il dominio e' semplicemente
[math] -1 \le x \le 1 [/math]
BlackAngel
BlackAngel - Genius - 2009 Punti
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GRAZIE MILLE PER IL TUO AIUTO!! Da poco abbiamo incominciato a studiare le funzioni composte e perciò mi sono trovata un pò in difficoltà... Grazie ancora... :blowkiss
BIT5
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prego!

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