Angel
Angel - Sapiens Sapiens - 871 Punti
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Traccia il grafico delle seguenti finzioni: (dominio, simmetrie, segno, intersezioni, asintoti, max e min, concavità e flessi, grafico)
[math]y=ln^{3}x-ln^{2}x[/math]
Non mi risulta, potete aiutarmi? =)
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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Visto che non c'ho niente da fare:

1) Dominio: basta imporre
[math]x>0[/math]
, per cui
[math]D=(0,+\infty)[/math]


2) Ovviamente, data la forma del dominio, non vi possono essere simmetrie.

3) Intersezioni con gli assi e positività: abbiamo
[math]y=0[/math]
se e solo se

[math]\ln^2 x(\ln x-1)=0\ \Rightarrow\ \ln x=0\ \vee\ \ln x=1\ \Rightarrow\ x=1,\ x=e[/math]


pertanto i punti
[math]A(1,0),\ B(e,0)[/math]
sono intersezioni con l'asse delle ascisse. E' immediato ricavare che la funzione risulta positiva per
[math]x>e[/math]
e negativa per
[math]x\in(0,1)\cup(1,e)[/math]


4) Abbiamo

[math]\lim_{x\to 0^-} f(x)=\lim_{x\to 0^-}\ln^3 x=-\infty[/math]


e pertanto la retta
[math]x=0[/math]
è un asintoto verticale. Analogamente

[math]\lim_{x\to +\infty} f(x)=\lim_{x\to +\infty}\ln^3 x=+\infty[/math]


ed è immediato verificare che non vi sono né asintoto orizzontali né obliqui.


5) Si ha

[math]y'=3\ln^2 x\cdot\frac{1}{x}-2\ln x\cdot\frac{1}{x}=\frac{3\ln^2 x-2\ln x}{x}[/math]


Risolvendo per
[math]y'\ge 0[/math]
si ricava

[math]N:\ 3\ln^2 x-2\ln x\ge 0\ \Rightarrow\ \ln x\le 0\ \vee\ \ln x\ge\frac{2}{3} \ \Rightarrow\ 0<x\le 1\ \vee\ x\ge e^{2/3}\\
D:\ x>0[/math]


Pertanto ne segue che la funzione
- cresce su
[math](0,1)\cup(e^{2/3},+\infty)[/math]

- decresce su
[math](1,e^{2/3})[/math]

- ha un massimo nel punto
[math]A(1,0)[/math]
e un minimo nel punto
[math]C(e^{2/3},-4/27)[/math]


6) Abbiamo

[math]y''=\frac{\left(6\ln x\cdot\frac{1}{x}-\frac{2}{x}\right)\cdot x-(3\ln^2 x-2\ln x)}{x^2}=\frac{6\ln x-2-3\ln^2 x+2\ln x}{x^2}[/math]

da cui

[math]y''=\frac{-3\ln^2 x+8\ln x-2}{x^2}[/math]

La disequazione
[math]y''\ge 0[/math]
equivale alla
[math]-3\ln^2 x+8\ln x-2\ge 0[/math]
: posto
[math]t=\ln x[/math]
si ha
[math]-3t^2+8t-2\ge 0[/math]
le cui soluzioni sono
[math]\frac{4-\sqrt{10}}{3}\le t\le\frac{4+\sqrt{10}}{3}[/math]
. Dalla posizione fatta si ha pertanto
[math]e^{\frac{4-\sqrt{10}}{3}}\le x\le e^{\frac{4+\sqrt{10}}{3}}[/math]

e pertanto la funzione

- è convessa su
[math]\left(e^{\frac{4-\sqrt{10}}{3}},e^{\frac{4+\sqrt{10}}{3}}\right)[/math]

- è concava su
[math]\left(0,e^{\frac{4-\sqrt{10}}{3}}\right)\cup\left(e^{\frac{4+\sqrt{10}}{3}},+\infty\right)[/math]

- ammette i flessi nei punti
[math]F\left(e^{\frac{4\pm\sqrt{10}}{3}},\frac{106\pm 34\sqrt{10}}{27}\right)[/math]


Il grafico è riportato di seguito.
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