miik91
miik91 - Sapiens Sapiens - 811 Punti
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Ciao a tutti. Ho difficoltà a studiare la derivata di questa funzione:

[math]f(x)=(x+\frac{1}{ln(x)})^2 [/math]

va studiata per forza graficamente???
BIT5
BIT5 - Mito - 28446 Punti
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la derivata...

Abbiamo la funzione "elevamento al quadrato"

Quindi la derivata inizia cosi':

[math] f'(x)=2 (x+ \frac{1}{\ln x}) \cdot [/math]

a questo punto devi derivare l'argomento (che e' una somma e quindi derivi ogni addendo: la derivata di x e' 1, la derivata di 1/ln x e':

[math] D( \frac{1}{\ln x})= \frac{1}{x \ln^2 x} [/math]

quindi la derivata finita sara'

[math] 2 (x+ \frac{1}{\ln x}) \cdot (1- \frac{1}{x \ln^2 x}) = [/math]

.
miik91
miik91 - Sapiens Sapiens - 811 Punti
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si la derivata la so calcolare...è che non riesco a calcolare il segno...

Aggiunto 1 minuti più tardi:

avrei anche un altra domanda:
visto che il limite della derivata prima per x->0 è +∞ cosa si può dire riguardo al grafico della funzione in un intorno di x=0? e più in generale, in che modo studiare il limite della derivata in un intorno di un punto permette di essere più precisi sul grafico? cioè capisco che quando il limite è finito ciò indica con quale tangenza la funzione si avvicini a quel punto, ma quando il limite è 0 oppure ∞ ??
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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Eseguo lo studio di funzione.

1) Dominio:
[math]\left\{\begin{array}{l}
x>0 \\ \log x\neq 0
\end{array}\right.[/math]

da cui
[math]D=(0,1)\cup(1,+\infty)[/math]
. Osserva inoltre che la funzione è sempre maggiore o guale a zero sul suo dominio, essendo un quadrato.
2) Comportamento asintotico:

[math]\lim_{x\rightarrow 0^+} f(x)=0^+[/math]

per cui in
[math]x=0[/math]
c'è una discontinuità eliminabile.
[math]\lim_{x\rightarrow 1^{\pm}} f(x)=+\infty[/math]

per cui
[math]x=1[/math]
è un asintoto verticale. Infine
[math]\lim_{x\rightarrow+\infty} f(x)=+\infty[/math]

ed avendosi pure

[math]m=\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{x^2\left(1+\frac{1}{x\log x}\right)^2}{x}=\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{x^2}{x}=+\infty[/math]

non c'è asintoto obliquo.


3) Monotonia:

[math]f'(x)=2\left(x+\frac{1}{\log x}\right)\cdot\left(1-\frac{1}{x\log^2 x}\right)=\frac{2(x\log x+1)}{\log x}\cdot\frac{x\log^2 x-1}{x\log^2 x}[/math]

da cui

[math]f'(x)=\frac{2(x\log x+1)(x\log^2 x-1)}{x\log^3 x}\geq 0[/math]

Analizziamo separatamente numeratore e denominatore. Per il denominatore si ha

[math]x\log^3 x>0[/math]

e quindi
[math]x>0,\ x>1[/math]
. Per il numeratore vediamo separatamente come è il comportamento delle funzioni
[math]g(x)=x\log x+1,\qquad h(x)=x\log^2 x-1[/math]

Ricorda che dobbiamo analizzare il loro comportamento solo sul dominio della funzione di partenza.

Abbiamo

[math]\lim_{x\rightarrow 0^+} g(x)=1,\qquad \lim_{x\rightarrow 1^{\pm}} g(x)=1,\qquad \lim_{x\rightarrow+\infty} g(x)=+\infty[/math]

Inoltre

[math]g'(x)=\log x+1\geq 0\ \Rightarrow\ x\geq\frac{1}{e}[/math]

La funzione
[math]g(x)[/math]
ha allora un minimo nel punto
[math]g(1/e)=1-\frac{1}{e}>0[/math]
e, dato il suo comportamento agli estremi del dominio, risulta sempre positiva.
Per l'altra funzione abbiamo

[math]\lim_{x\rightarrow 0^+} h(x)=-1,\qquad \lim_{x\rightarrow 1^{\pm}} g(x)=-1,\qquad \lim_{x\rightarrow+\infty} g(x)=+\infty[/math]

Inoltre

[math]h'(x)=\log^2 x+2\log x\geq 0\ \Rightarrow\ log x\leq -2,\ \log x\geq 0[/math]

e quindi

[math]x\leq\frac{1}{e^2},\qquad x\geq 1[/math]

La funzione presenta allora un massimo in
[math]h(1/e^2)=\frac{4}{e^2}-1<0[/math]
ed un minimo in
[math]h(1)=-1[/math]
. Dato il suo comportamento agli estremi, essa risulta sempre negativa su
[math](0,1)[/math]
mentre cambia segno sull'intervallo
[math](1,+\infty)[/math]
. Ne puoi dedurre che allora esiste un
[math]\alpha\in(1,+\infty)[/math]
tale che
[math]h(x)<0,\ x<\alpha,\qquad h(x)>0,\ x>\alpha[/math]
.
Se allora costruisci il grafico per i segni della derivata, dovrai rappresentare tre righe su cui riportare i valori

[math]x>0,\ x>1,\ x>\alpha[/math]

e quindi la funzione derivata risulta

[math]f'(x)>0\qquad x\in(0,1)\cup(\alpha,+\infty)[/math]
[math]f'(x)>0\qquad x\in(1,\alpha)[/math]

ed ammette un minimo (assoluto) nel punto
[math](\alpha,h(\alpha))[/math]
(di cui puoi, soltanto, dire che si trova oltre il punto x=1 e sopra l'asse delle x).
Ti posto il grafico.
miik91
miik91 - Sapiens Sapiens - 811 Punti
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ok grazie mille. Cosa puoi dirmi riguardo la domanda sul limite della derivata?
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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Sono definizioni standard, quelle. Se
[math]f'(x_0)=0[/math]
hai un punto stazionario. In particolare vale il seguente
Teorema di Fermat: Se
[math]x_0[/math]
è un punto di massimo o minimo per la funzione
[math]f[/math]
e la funzione risulta derivabile in
[math]x_0[/math]
allora
[math]f(x_0)=0[/math]

Osserva che il viceversa non è vero: ad esempio per la funzione
[math]f(x)=x^3[/math]
si ha che
[math]f'(x)=3x^2,\qquad f'(0)=0[/math]

Tuttavia la funzione non ha in
[math]x=0[/math]
massimi e minimi (quello che si presenta è un flesso a tangente orizzontale)

Se invece la derivata è infinito, questo vuol dire che in tale punto la funzione ammette una tangente verticale e si possono presentare due casi diversi:

1) le derivate destra e sinistra assumono lo stesso valore di infinito (positivo o negativo): si ha quello che si chiama flesso a tangente verticale;

2) le derivate destra e sinistra assumono valori di infinito con segno discorde (uno positivo, uno negativo): il punt in questione si chiama allora punto di cuspide.
miik91
miik91 - Sapiens Sapiens - 811 Punti
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ok ecco mi interessava in particolare la seconda parte del discorso più che quella sui max e min che già so. Se il limite della derivata nell intorno di un punto, è 0 o più infinito (escludendo che quel punto sia un max o un min) diciamo che rispettivamente si ha una tangente orizzontale/verticale, per x che tende a quel punto ( supponiamo di poter studiare il limite della derivata solo in un intorno destro o sinistro escludendo quindi le classificazioni standard di cuspide e flessi a tangente verticale). In questi casi come va disegnato il grafico????
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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Nel caso in cui hai solo il limite da un lato, hai comunque una cuspide, per definizione. Quindi, basta che disegni una curva che arrivi a quel punto con tangente verticale.

Pensa al grafico di
[math]y=\sqrt{x}[/math]
tanto per farti un'idea.
miik91
miik91 - Sapiens Sapiens - 811 Punti
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ok quindi quando inve il limite della derivata è 0 devo disegnare una curva che il quel punto passa con tangente orizzontale giusto?
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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Esatto, ad esempio come
[math]y=x^3[/math]
miik91
miik91 - Sapiens Sapiens - 811 Punti
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ok perfetto grazie mille!!
BIT5
BIT5 - Mito - 28446 Punti
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bravo Ciampax, non avrei saputo fare di meglio :D:D:D:D

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