miik91
miik91 - Sapiens Sapiens - 811 Punti
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ciao a tutti. Ho una domanda...sto studiando i limitie sono giunto ad una situazione che nn comprendo a fondo...il libro sta cercando di spiegarmi un esempio di funzione che nn ammette limite per x che tende a 0 :

f(x)=x/IxI

Sul libro c è scritto che per ogni valore di l che si sceglie esisterà sempre un numero epsilon>0 con la seguente proprietà: comunque si scelga ∂>0, esistono dei punti X che appartengo a (-∂,&#8706;) , con x diverso da 0, tali che If(x)-lI>=epsilon. Dopo questo ragionamento prende il caso di epsilon=1/2 e l=1. Tuttavia nn riesco a capire bene in quanto nel caso in cui io prenda un epsilon e una l con epsilon>l nn mi ritrovo col discorso del libro in quanto in questo casoIf(x)-l<epsilon e quindi la definizione di limite sarebbe verificata. In effetti ragionandoci al di là delle formule mi rendo conto che la funzione data quando tende a 0 nn ha limite in quanto i valori dell ordinata saranno cmq sempre +1 e -1 per qualsiadi ∂ si scelga e perkè in pratica la funzione è limitata . Tuttavia andando al coloco come illustrato da libro c è qualkosa che nn capisco; forse qualkosa riguardo il valore di epsilon che forse nn può essere superiore ad un detrminato valore?? Magari la mia domanda nn ha senso e forse è dovuta al fatto che nn ho ancora compreso a fondo il concetto di limite avendolo cominciato a studiare solo 2 giorni fa...ma in ogni caso qualcuno potrebbe delucidarmi su questo mio dubbio? grazie in anticipo
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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Non ho capito sinceramente la tua spiegazione sul cosa non capisci. La definizione di limite ti dice che, se in questo caso si avesse

[math]\lim_{x\rightarrow 0} f(x)=\ell[/math]

allora

[math]\forall\ \epsilon>0\ \exists\ \delta>0\ :\ x\in(-\delta,\delta)\ \Rightarrow\ |f(x)-\ell|<\epsilon[/math]

Osserva che
[math]\epsilon[/math]
per definizione deve essere un numero piccolo, in quanto devi ritrovarti in un introno piccolo del valore
[math]\ell[/math]
: infatti l'ultima disequazione equivale a dire che
[math]f(x)\in(\ell-\epsilon,\ell+\epsilon)[/math]

Scegliere una epsilon troppo grande ti fa allontanare troppo dal valore
[math]\ell[/math]
su cui stai indagando, per cui la cosa non funziona!
In ogni caso puoi vedere la non esistenza di questo limite in altro modo: la funzione la puoi scrivere così

[math]f(x)=\left\{\begin{array}{lcl}
\frac{x}{x} & & x>0\\ \frac{x}{-x} & & x<0
\end{array}\right.=\left\{\begin{array}{lcl}
1 & & x>0\\ 1 & & x<0
\end{array}\right.[/math]

Avvicinandoti a zero dai due lati, ti ritroverai (per le x positive) sempre in un intorno del punto 1, mentre (per le x negative) sempre in un intorno del punto -1. Questo ti dice che in
[math]x=0[/math]
non puoi determinare un valore preciso di
[math]f(x)[/math]
che stia in un singolo intorno, e quindi che il limite non esiste.
miik91
miik91 - Sapiens Sapiens - 811 Punti
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ok capito diciamo che l errore che facevo è di prendere l ipotesi dell epsilon troppo grande, ipotesi che nn può essere presa in considerazione. Tuttavia mi sorgono due domande dalla tua spiegazione
1 l epsilon dovrà sempre essere minore della l
2 nella caso della funzione da me proposta il limite nn esiste perkè in realtà avvicinandoci allo 0 la f(x) tende a due valori e non aa uno solo giusto? e perciò al contrario, il limite di If(x)I per x che tende a 0 è 1 nel caso di f(x)=x/IxI??
scusa se ancora una volta nn mi sono espresso bene:(
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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1) in realtà non è detto che
[math]\epsilon[/math]
sia più piccolo di
[math]\ell[/math]
: il fatto sostanziale è che prenderne uno troppo grande come hai fatto tu scegliendolo pari a 1 è eccessivo e va fuori dal concetto di limite, per cui è necessario avere un intorno piccolo di un punto!
2) Bé, se
[math]f(x)=x/|x|[/math]
allora
[math]|f(x)|=|x|/|x|=1[/math]
(quando
[math]x\neq 0[/math]
) per cui la tua funzione presenta quella che si dice discontinuità di terza specie: non puoi calcolarla in x=0, tuttavia il limite esiste ed è pari ad 1. Quindi puoi definire una nuova funzione (simile alla precedente) dicendo che essa è fatta così:
[math]g(x)=\left\{\begin{array}{lcl}
|f(x)| & & x\neq 0\\ 1 & & x=0
\end{array}\right.[/math]

Spero sia chiaro.
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