DANIELELE
DANIELELE - Sapiens - 368 Punti
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salve ragazzi domani ho il compito di matematica ma non ho capito come si fanno le funzioni
ce qualcuno k me le saprebbe spiegare???
cioè trovare dominio e positività
per esempio mi potete risolvere queste
Y=radice di x^2-3x-6/x^2-4x in questa il denominatore nn è sotto radice


Y=7x^2-8s+1/4x^2-x

grazie in anticipo

Aggiunto 22 ore 10 minuti più tardi:

GRAZIE A TUTTI!!!
aleio1
aleio1 - Mito - 18949 Punti
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[math]f(x)=\frac{sqrt{x^2-3x-6}}{x^2-4x}[/math]

Il dominio di una funzione è l'insieme dei valori che la variabile può assumere senza che la funzione stessa perda di significato.
In particolare, ad esempio, un denominatore non può essere mai nullo, un radicando che compare sotto radice di indice pari non può mai essere negativo, l'argomento di un logaritmo non può mai essere non positivo, l'argomento di un arcoseno non può mai essere esterno all'intervallo [-1;1].

Nel caso della precedente funzione compaiono un radicando sotto radice quadrata che deve essere sempre non negativo ed un denominatore che non può essere mai nullo.

Quindi imponiamo:

-
[math]x^2-4x\ne0\rightarrow x(x-4)\ne0\rightarrow x\ne0 \ \ \wedge \ \ x\ne4[/math]
(in questo caso avresti potuto risolvere l'equazione e poi imporre che la variabile fosse diversa dai valori delle soluzioni)

-
[math]x^2-3x-6\ge0\rightarrow x\le\frac{3-sqrt{33}}{2} \ \ \vee \ \ x\ge\frac{3+sqrt{33}}{2}[/math]

Quindi la variabile
[math]x[/math]
può assumere valori minori o uguali di
[math]\frac{3-sqrt{33}}{2}[/math]
e maggiori o uguali di
[math]\frac{3+sqrt{33}}{2}[/math]
e diversi da
[math]0[/math]
e da
[math]4[/math]
.
Osservando sulla retta reale dove si trovano questi valori possiamo dire che il dominio della funzione è

[math]D=(-\infty;\frac{3-sqrt{33}}{2}] \ \cup \ [\frac{3+sqrt{33}}{2};+\infty)[/math]

(Osserva che
[math]4[/math]
e
[math]0[/math]
non compaiono nella rappresentazioni perchè interni all'intervallo
[math](\frac{3-sqrt{33}}{2};\frac{3+sqrt{33}}{2})[/math]
e dunque già scartati dal dominio.
Quanto alla positività si tratta di vedere dove la funzione assume valori positivi, negativi e nulli. Pertanto risolviamo la disequazione per avere un'idea di come le immagini di dispongono sulla retta reale.

[math]\frac{sqrt{x^2-3x-6}}{x^2-4x}\ge0[/math]

[math]sqrt{x^2-3x-6}\ge0\rightarrow \ \forall \ x\in D[/math]

[math]x^2-4x>0\rightarrow x<0 \ \ \vee \ \ x>4[/math]

Nota che il denominatore deve essere strettamente positivo in quanto non può mai annullarsi.

Facendo un piccolo grafico delle soluzioni delle disequazioni relative al numeratore e al denominatore (anche se in questo caso non ce ne sarebbe bisogno in quanto il numeratore è sempre positivo o al più nullo) si ha che

[math]\frac{sqrt{x^2-3x-6}}{x^2-4x}\ge0\rightarrow x<0 \ \ \vee \ \ x>4[/math]
.
In particolare sarà

[math]\frac{sqrt{x^2-3x-6}}{x^2-4x}=0\Leftrightarrow x= \frac{3\pm sqrt{33}}{2}[/math]
ovvero i punti in cui si annulla il numeratore.
Se hai dubbi chiedi. L'altra sarai sicuramente in grado di risolverla da solo allo stesso modo.
BIT5
BIT5 - Mito - 28446 Punti
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Per il calcolo del dominio devi considerare queste limitazioni:

- se c'e' una frazione, il denominatore dovra' essere diverso da zero
- se c'e' una radice ad indice pari, l'argomento dovra' essere maggiore o uguale a zero (il radicando)
- se c'e' un logaritmo, l'argomento del logaritmo dev'essere > (in senso stretto) di zero.
- se hai l'incognita sia alla base che all'esponente, la base dovra' essere > 0.
- se hai una tangente, l'argomento dovra' essere diverso da pigreco/2 + k pigreco
- se hai la cotangente, argomento diverso da 0 + k pigreco

Se hai piu' di una di queste situazioni, il dominio sara' la soluzione del sistema di tutte le limitazioni.

Se hai, ad esempio, un denominatore con il logaritmo, l'argomento del logaritmo dovra' essere maggiore di zero e il denominatore diverso da zero.

Vediamo ora la prima (spero che il testo da te scritto sia corretto, le soluzioni vengono bruttine)

[math] f(x)= \frac{ \sqrt{x^2-3x-6}}{x^2-4x} [/math]

Il dominio sara' la soluzione del sistema

[math] \{ x^2-3x-6 \ge 0 \\ x^2-4x \ne 0 [/math]

La prima disequazione sara':

[math] x \le \frac{3 - \sqrt{33}}{2} \ U \ x \ge \frac{3+ \sqrt{33}}{2} [/math]

La seconda

[math] x(x-4) \ne 0 \to x \ne 0 \ U \ x \ne 4 [/math]

Siccome i punti esclusi dalla seconda, non appartengono gia' al primo intervallo trovato (0 e 4 non stanno nell'intervallo della prima equazione) avrai

[math] D: \ x \le \frac{3 - \sqrt{33}}{2} \ U \ x \ge \frac{3+ \sqrt{33}}{2} [/math]

POSITIVITA'

Dal momento che il numeratore, quando esiste, e' sempre positivo, il segno della frazione e' stabilito dal denominatore.

[math] D>0 \to x<0 \ U x> 4 [/math]

Pertanto, nel dominio, la funzione e' sempre positiva (infatti se guardi gli intervalli in cui il denominatore e' positivo, e consideri il dominio, noti che non ci sono intervalli del dominio tra 0 e 4)

La seconda:

[mat] f(x)= \frac{7x^2-8x+1}{4x^2-x} [/math]

Qui hai solo una frazione, quindi denominatore diverso da zero.

[math] x(4x-1) \ne 0 \to x \ne 0 \ U \ x \ne \frac14 [/math]

Pertanto

[math] D: ( - \infty, 0) \ U \ (0,4) \ U \ (4, + \infty) [/math]

Positivita':

[math] \frac{7x^2-8x+1}{4x^2-x} > 0 [/math]

Risolviamo la disequazione fratta:

[math] N>0 \to 7x^2-8x+1>0 \to x< \frac{1}{14} \ U \ x> \frac12 [/math]

[math] D>0 \to x<0 \ U \ x>4 [/math]

Facendo il grafico dei segni, vedrai che f(x)>0

[math] x<0 \ U \ \frac{1}{14} < x < \frac12 \ U \ x>4 [/math]

Questo significa che negli intervalli che abbiamo trovato, la funzione giace SOPRA l'asse x, negli altri, sotto. In x=0 e x=4 la funzione non esiste.
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