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  • fra tutti i rombi circoscritti a un cerchio di raggio r determina quello di perimetro minimo

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RossiDani
RossiDani - Ominide - 41 Punti
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fra tutti i rombi circoscritti a un cerchio di raggio r determina quello di perimetro minimo
cme si fa????????
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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Per prima cosa, dobbiamo capire che relazione intercorre tra il raggio del cerchio e il lato del rombo circoscritto. Indichiamo con
[math]r[/math]
il raggio del cerchio: la situazione che ti si presenta è quella della figura allegata.
Osserva che i quattro triangoli rettangoli sono uguali (avendo il rombo tutti e quattro i lati uguali. Se indichiamo con
[math]x[/math]
la metà dell'angolo al vertice del rombo abbiamo le relazioni seguenti:
[math]AH=\frac{OH}{\tan x}=\frac{r\cos x}{\sin x},\\ BH=OH\tan x=\frac{r\sin x}{\cos x}[/math]

e quindi il lato del rombo misura

[math]AB=\ell=AH+BH=\frac{r\cos^2 x+r\sin^2 x}{\sin x\cos x}=\frac{2r}{\sin 2x}[/math]

Pertanto la funzione che indica il perimetro è

[math]p(x)=\frac{8r}{\sin 2x}[/math]

Derivando si ha

[math]p'(x)=-\frac{16 r\cos 2x}{\sin^2 2x}[/math]

la quale si annulla per
[math]\cos 2x=0[/math]
e cioè per
[math]2x=\frac{\pi}{2}+k\pi\qquad x=\frac{\pi}{4}+k\frac{\pi}{2}[/math]

Dal momento che
[math]0<x<90[/math]
in quanto è uno dei due angoli non retti di un triangolo rettangolo, l'unica soluzione possibile è
[math]x=\pi/4=45^\circ[/math]
. Ma allora gli angoli del rombo misurano tutti
[math]2x=90^\circ[/math]
e quindi il rombo cercato è il quadrato di lato
[math]\ell=2r[/math]
.
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