SuperGaara
SuperGaara - Mito - 120308 Punti
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Oggi a scuola nell'ora di matematica abbiamo affrontato un nuovo argomento di geometria analitica, ovvero la distanza di un punto da una retta. Abbiamo appurato che la formula che permette il calcolo di questa distanza è:

[math]d(P;r)=\frac{\left | ax_0+by_0+c \right |}{\sqrt{a^2+b^2}}[/math]

La nostra professoressa ha eseguito la dimostrazione con esempi numerici: ha cioè trovato una certa distanza con la formula, ha poi seguito un'altra strada per trovare la stessa distanza (intersezione delle rette perpendicolari) e, poichè i valori numerici ottenuti erano gli stessi, ci ha mostrato la veridicità di questa formula.
Ci ha infatti detto che si preferisce non affrontare in classe la dimostrazione generica della formula, poichè richiede molti calcoli complessi. Lo stesso dice anche il libro.
Dunque non trovavo da nessuna parte la dimostrazione ma mi ero incuriosito troppo, così, assieme ad un mio amico (mav), abbiamo provato a dimostrare da noi questa formula...ma non ci siamo riusciti :blush!

Dunque se c'è qualcuno che sa come fare, postate pure!!!
Mario
Mario - Genius - 37169 Punti
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ti posto questi link ma non so se fanno al caso tuo. risp.
http://www.ripmat.it/mate/d/dc/dceh.html
http://it.wikipedia.org/wiki/Distanza_di_un_punto_da_una_retta
http://www.itis.biella.it/biellascuole/Superiori/Scheda4.PDF
Pillaus
Pillaus - Genius - 7338 Punti
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In realtà è molto semplice.... Basta che ti ricordi che cos'è la distanza!

Allora, tu hai
[math]P\left(x_0,y_0\right)[/math]
e
[math]r:ax+by+c=0[/math]

La distanza di P da r è il segmento della perpendicolare a r passante per P. Ora, la generica perpendicolare a r ha equazione
[math]s:-bx + ay + d = 0[/math]
(in modo che il coefficiente angolare sia l'inverso dell'opposto della prima). Imponendo il passaggio per P hai
[math]-b x_0 + a y_0 + d = 0\\
d = b x_0 - a y_0\\
\\
s: -b\left(x - x_0\right) + a\left(y - y_0\right)= 0[/math]

(che potevi trovare anche come retta del fascio... bla bla...)

Ora, il punto Q di intersezione tra le rette è:

[math]\begin{cases} ax + by + c = 0 \\ -b\left(x - x_0\right) + a\left(y - y_0\right)= 0
\end{cases}\\
\begin{cases} abx + b^2 y + cb = 0 \\ -ab\left(x - x_0\right) + a^2 \left(y - y_0\right)= 0
\end{cases}\\
\left(a^2 + b^2\right) y + a\left(b x_0 - a y_0\right) + cb = 0\\
\begin{cases} y = \frac{a\left(-b x_0 + a y_0\right) - cb}{a^2 + b^2} \\
x = \frac{b\left(b x_0 - a y_0\right) - ac}{a^2 + b^2}
\end{cases}[/math]

(giuro che se fai i conti per bene, viene!)
Ora basta che fai la distanza tra P e Q:

[math]\sqrt{\left(P_x - Q_x\right)^2 +\left(P_y - Q_y\right)^2} =\\
= \sqrt{\left(x_0 - \frac{b\left(b x_0 - a y_0\right) - ac}{a^2 + b^2}\right)^2 +\left(y_0 - \frac{a\left(-b x_0 + a y_0\right) - cb}{a^2 + b^2}\right)^2} =\\
= \frac{1}{a^2 + b^2} \sqrt{\left(x_0\left(a^2+b^2\right) - b^2 x_0 + ab y_0 + ac \right)^2 + \\+\left(y_0\left(a^2+b^2\right) + ab x_0 - a^2 y_0 + cb\right)^2} = \\
= \frac{1}{a^2 + b^2}\sqrt{\left(x_0 a^2 + ab y_0 + ac \right)^2 + \left(y_0 b^2 + ab x_0 + cb\right)^2} = \\
= \frac{1}{a^2 + b^2} \sqrt{a^2 \left(a x_0 + b y_0 + c \right)^2 + b^2 \left(a x_0 + b y_0 c\right)^2} = \\
= \frac{1}{a^2 + b^2} \sqrt{a^2 + b^2} \left|a x_0 + b y_0 + c \right| = \\
= \frac{\left|a x_0 + b y_0 + c \right|}{\sqrt{a^2 + b^2}}[/math]
SuperGaara
SuperGaara - Mito - 120308 Punti
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Ho capito, grazie mille alessandro ;)!

Adesso provo io a dimostrare la formula utilizzando l'equazione del fascio.

Dunque sia
[math]r:\;ax+by+c=0\;e\;P(x_O;y_O)[/math]
.
Chiamiamo s la retta perpendicolare a r; ricavo il coefficiente angolare:

[math]m_s=\frac{-1}{-\frac{a}{b}}=\frac{b}{a}[/math]

L'equazione di s sarà:

[math]s:\;y-y_0=\frac{b}{a}*(x-x_0)[/math]

Metto a sistema r e s per trovare il loro punto H d'intersezione:

[math]\begin{cases} y-y_0=\frac{b}{a}*(x-x_0) \\ ax+by+c=0
\end{cases} [/math]

[math]\begin{cases} ay-ay_0=bx-bx_0 \\ ax+by=-c
\end{cases} [/math]

[math]\begin{cases} -bx+ay=ay_0-bx_0 \\ ax+by=-c
\end{cases} [/math]

Per ricavare la coordinata y moltiplico la prima equazione per a, la seconda per b ed eseguo la riduzione tra le equazioni:

[math]\begin{cases} -abx+a^2y=a^2y_0-abx_0 \\ abx+b^2y=-bc
\end{cases} [/math]

Ottengo:

[math]y(a^2+b^2)=a^2y_0-abx_0-bc\\y=\frac{a^2y_0-abx_0-bc}{a^2+b^2}[/math]

Ritorno alla situazione:

[math]\begin{cases} -bx+ay=ay_0-bx_0 \\ ax+by=-c
\end{cases} [/math]

Per ricavare la coordinata x moltiplico la prima equazione per -b, la seconda per a ed eseguo la riduzione tra le equazioni:

[math]\begin{cases} b^2x-aby=-aby_0+b^2x_0 \\ a^2x+aby=-ac
\end{cases} [/math]

Ottengo:

[math]x(a^2+b^2)=b^2x_0-aby_0-ac\\x=\frac{b^2x_0-aby_0-ac}{a^2+b^2}[/math]

Dunque:

[math]H(\frac{b^2x_0-aby_0-ac}{a^2+b^2};\frac{a^2y_0-abx_0-bc}{a^2+b^2})[/math]

Applico ora la formula della distanza:

[math]\sqrt{(x_0-\frac{b^2x_0-aby_0-ac}{a^2+b^2})^2+(y_0-\frac{a^2y_0-abx_0-bc}{a^2+b^2})^2}\\\sqrt{(\frac{a^2x_0+b^2x_0-b^2x_0+aby_0+ac}{a^2+b^2})^2+(\frac{a^2y_0+b^2y_0-a^2y_0+abx_0+bc}{a^2+b^2})^2}\\\sqrt{\frac{(a^2x_0+aby_0+ac)^2}{(a^2+b^2)^2}+\frac{(b^2y_0+abx_0+bc)^2}{(a^2+b^2)^2}}\\\sqrt{\frac{a^2(ax_0+by_0+c)^2+b^2(by_0+ax_0+c)^2}{(a^2+b^2)^2}}\\\sqrt{\frac{(ax_0+by_0+c)^2*(a^2+b^2)}{(a^2+b^2)^2}}\\\frac{\left | ax_0+by_0+c \right |}{\sqrt{a^2+b^2}}[/math]

La formula è verificata :yes!
sbardy
sbardy - Admin - 22784 Punti
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ao ma ke state a creà:O_o
SuperGaara
SuperGaara - Mito - 120308 Punti
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Eh eh...e non immagini la fatica che ho fatto a scriverle tutte quelle formulacce col latex...;)
sbardy
sbardy - Admin - 22784 Punti
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:bleah
SuperGaara
SuperGaara - Mito - 120308 Punti
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:lol:lol:lol:lol:lol:lol:lol:lol:lol:lol:lol:lol:lol:lol:lol
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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Bravo Ste.

Continua così!

Cmq, ti lancio una sfida: mi sai dimostrare (anche facendo i conti) che se hai una qualsiasi conica di equazione

[math]ax^2+by^2+cxy+dx+ey+f=0[/math]

con
[math]a,b,c,d,e,f[/math]
costanti reali, allora da ogni punto esterno partono al massimo 2 tangenti? Prova e fammi sapere.
minimo
minimo - Genius - 4940 Punti
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se ti studi un po' di spazi vettoriali ed il prodotto scalare puoi ricalcolarti quella formula con due passaggi. Idem per il teorema generalizzato di pitagora (conosciuto anche come teorema di carnòt)

ps speriamo che ciampax non si roda il fegato per come ho scritto carnò ;)
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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No, no.... se scrive così!

Vedi che quando ti applichi non sei tanto scemo? :lol
SuperGaara
SuperGaara - Mito - 120308 Punti
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Eccomi qui: allora penso di essere riuscito a dimostrare ciò che Donato chiedeva...ora posto tutto il mio ragionamento!
Per prima cosa, non conoscendo nulla sulle coniche, ho cercato informazioni: ne deduco essere quel luogo geometrico di punti che al variare del discriminante della sua equazione si identifica in iperbole, parabole o ellisse.
Ma a me questo serve relativamente...ragioniamo sul quesito: data la generale equazione di una conica, da ogni punto esterno partono al massimo 2 tangenti. Le tangenti sono quelle rette che toccano in un unico punto un luogo geometrico. Perciò, prima di tutto, devo verificare l'esistenza di almeno una tangente alla conica data.
Metto a sistema l’equazione della conica
[math]ax^2+by^2+cxy+dx+ey+f=0[/math]
con l’equazione generica di una retta
[math]y=mx+q[/math]
per verificare se vi sono punti in cui le due si toccano.
[math]\begin{cases} ax^2+by^2+cxy+dx+ey+f=0 \\ y=mx+q
\end{cases} [/math]

[math]\begin{cases} ax^2+b(mx+q)^2+cx(mx+q)+dx+e(mx+q)+f=0 \\ y=mx+q
\end{cases} [/math]

[math]\begin{cases} ax^2+bm^2x^2+2bmxq+bq^2+mcx^2+cxq+dx+emx+eq+f=0 \\ y=mx+q
\end{cases} [/math]

[math]\begin{cases} x^2(a+bm^2+mc)+x(2mqb+cq+d+cm)+bq^2+eq+f=0 \\ y=mx+q
\end{cases} [/math]

Si è, dunque, in presenza di un’equazione di secondo grado, la cui formula risolutiva da:

[math]x_{1,2}=\frac{-(2mqb+cq+d+cm)\pm\sqrt{(2mqb+cq+d+cm)^2-4(q+bm^2+mc)(bq^2+eq+f)}}{2(q+bm^2+mc)}[/math]

Si deduce che:
- se
[math]\Delta >0[/math]
, si hanno due soluzioni, perciò la retta generica trovata è secante alla conica poichè si incontrano in due;
- se
[math]\Delta =0[/math]
, si ha una soluzione, e la retta è tangente alla conica in quanto si toccano in un solo punto;
- se
[math]\Delta <0[/math]
, non vi sono soluzioni, allora la retta è esterna alla conica.
Per avere la tangente, noi siamo in caso delta uguale a 0. Ora, per vedere il numero di tangenti possibili, basterà eguagliare il delta a 0 e risolvere l’equazione:

[math](2mqb+cq+d+cm)^2-4(q+bm^2+mc)(bq^2+eq+f)=0[/math]

…Non posto tutti i calcoli poiché sono lunghi e troppo complessi da scrivere in latex…

Concludo dicendo che questa equazione è di secondo grado e ha variabile m (gli altri sono tutti coefficienti numerici): siccome a seconda del coefficiente angolare cambia l’inclinazione delle possibili tangenti, e ci troviamo di fronte ad un’equazione di secondo grado dove ho al massimo due soluzioni, si può dire che esistono al più due tangenti alla conica che si possono condurre a partire da un punto esterno.

[math]C.V.D.[/math]

...O almeno credo...:lol

Questa risposta è stata cambiata da Pillaus (12-05-07 03:36, 9 anni 6 mesi 28 giorni )
Mario
Mario - Genius - 37169 Punti
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non ci capisco nulla! ma per fortuna non studio sta roba!:lol
SuperGaara
SuperGaara - Mito - 120308 Punti
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Si ma neanche io l'ho studiata la conica...ho semplicemente ragionato sapendo qualcosina di geometria analitica ;)!
xico87
xico87 - Mito - 28236 Punti
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:O_o:O_o:O_o

piuttosto di scrivere tutta quella roba nn so cos'avrei fatto...:weapon

ps: cmq sempre meglio che stare sui libri di italiano:lol:lol:lol

Pagine: 12

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