Newton_1372
Newton_1372 - Genius - 2097 Punti
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Mi sto esercitando sui numeri complessi, e un esercizio chiede di trovare la FORMA ALGEBRICA del numero complesso tan z, definito nel seguente modo:

tan z = sin z/cos z = (e^iz-e^-iz)/2i : (e^iz+e^-iz) = (e^iz-e^-iz)/i(e^iz+e^-iz)

nel libro non c'è il risultato. Potreste risolvermi questo esercizio per vedere se lo faccio giusto? Ripeto, occorre trovare la FORMA ALGEBRICA di tan z, per intenderci bisogna calcolarci la parte reale e immaginaria.
Si assuma z = x+iy

Grazie mille anticipate per l'aiuto

Aggiunto 42 secondi più tardi:

Ehi prof!!! Ci siete ?! :)

Aggiunto 6 ore 45 minuti più tardi:

scusate se rompo ma è per far tornare il mio quesito in cima altrimenti temo che sia dimenticato...:(
Dai prof ho fiducia in voi!
PrInCeSs Of MuSiC
PrInCeSs Of MuSiC - Genius - 76233 Punti
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Ciao, io non so risolvere il problema, ma ti ricordo di usare il linguaggio latex.
Il topic è in cima a questa sezione.
E tranquillo, presto i nostri cari cervelloni ti risponderanno :)
Abbi pazienza e fiducia.. :)
xico87
xico87 - Mito - 28236 Punti
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dalla forma in esponenziali sostituisci z = x + jy.
se non ho sbagliato i conti ottieni una cosa di questo tipo:

[math] \frac 1j \; \frac{e^{jx}e^{-y} - e^{-jx}e^y}{e^{jx}e^{-y} + e^{-jx}e^y} [/math]

da qui sostituisci all'esponenziale complesso la forma trigonometrica associata (e^(jx) = cos(x) + jsen(x)). fatto questo basta che stai attento alla forma del denominatore, che sarà del tipo: a + jb. per far andare via la j basta moltiplicare numeratore e denominatore per (a - jb), e hai fatto
Newton_1372
Newton_1372 - Genius - 2097 Punti
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il procedimento lo so ma vorrei controllare se mi viene giusto quindi mi potresti cortesemente scrivere proprio il risultato?

Aggiunto 1 ore 46 minuti più tardi:

Purtroppo nel libro non c'è...
xico87
xico87 - Mito - 28236 Punti
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troppo lungo.. posta il tuo, usa http://imageshack.us se non riesci ad inserire l'allegato. oppure scrivi in latex (guarda la guida sul primo topic della sezione).
quando ho tempo te lo controllo (o se non io qualcun'altro)
Newton_1372
Newton_1372 - Genius - 2097 Punti
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glockem....:(

Aggiunto 46 minuti più tardi:

va bene ci riprovo...

Aggiunto 1 ore 21 minuti più tardi:

sicuramente sarà la formula del lotto...io almeno ci ho provato...vi prego di dirmi se è giusto...

[math] \tan{z} = \frac{\sin{2x}+e^{-y}\sin{2x}+i(2\cos{2x}-e^{-2y}-e^{2y})}{e^{-2y}\cos{4x}-2\cos{x}+e^{2y}} [/math]
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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Può essere, ma sono troppo stanco per fare i conti. Te lo dico domani! :asd
Newton_1372
Newton_1372 - Genius - 2097 Punti
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Credo che questo sia una comunità meravigliosa...in confidenza

Aggiunto 14 ore 37 minuti più tardi:

Adesso che conosco La Tex (almeno penso) mi sento abbastanza maturo per postare qui tutto il procedimento. Mi rivolgo ai geni universitari della room: Vi prego, correggetemelo!

Sia z = x+iy, con x,y reali; iz = ix-y; -iz=-ix+y. Sostituendo questi valori alla formula della tangente di z, con z complesso, avremo:

[math] \tan{z}=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{i(e^{iz}+e^{-iz})}=\frac{e^{ix-y}-e^{-ix+y}}{i(e^{ix-y}+e^{-ix+y})} [/math]
Per la formula di Eulero, che vede e^ix = cos x + i sin x, possiamo scrivere:
[math] \frac{1}{i}\frac{e^{-y}(\cos{x}+i\sin{x})-\frac{e^y}{\cos{x}+i\sin{x}}}{e^{-y}(\cos{x}+i\sin{x})-\frac{e^y}{\cos{x}+i\sin{x})}}[/math]

Aggiunto 5 minuti più tardi:

La doppia frazione del numeratore e del denominatore si può togliere nel seguente modo:

[math] \frac{1}{i}\frac{e^{-y}(\cos{x}+i\sin{x})-\frac{e^y(\cos{x}-i\sin{x})}{cos^2x-i^2sin^2x}}{e^{-y}(\cos{x}+i\sin{x})+\frac{e^y(\cos{x}-i\sin{x})}{cos^2x-i^2sin^2x}}[/math]

Aggiunto 3 minuti più tardi:

il denominatore cos^2x-i^2sin^2x è uguale alla formula fondamentale cos^2x+sin^2x=1, e quindi si può elidere. Si ottiene così la seguente:
[math]\frac{1}{i}\frac{e^{-y}(\cos{x}+i\sin{x})-e^y(\cos{x}-i\sin{x})}{e^{-y}(\cos{x}+i\sin{x})+e^y(\cos{x}-i\sin{x})}[/math]

Aggiunto 8 minuti più tardi:

scogliendo le parentesi:
[math]\frac{1}{i}\frac{e^{-y}\cos{x}+ie^{-y}\sin{x}-e^y\cos{x}+ie^y\sin{x}}{e^{-y}\cos{x}+ie^{-y}\sin{x}+e^y\cos{x}-ie^y\sin{x}}=\\\frac{1}{i}\frac{\cos{x}(e^{-y}-e^y)+i\sin{x}(e^{-y}+e^y)}{\cos{x}(e^{-y}+e^y)+i\sin{x}(e^{-y}-e^y)}[/math]

Aggiunto 4 minuti più tardi:

[math] \frac{-i\cos{x}(e^{-y}-e^y)+\sin{x}(e^{-y}+e^y)}{\cos{x}(e^{-y}+e^y)+i\sin{x}(e^{-y}-e^y)}[/math]

Aggiunto 7 minuti più tardi:

Abbiamo ottenuto una frazione in cui il denominatore è in forma algebrica. Non ci rimane che moltiplicare sia num che per la seguente quantità:

[math] \frac{[-i\cos{x}(e^{-y}-e^y)+\sin{x}(e^{-y}+e^y)][\cos{x}(e^{-y}+e^y)-i\sin{x}(e^{-y}-e^y)]}{\cos^2{x}(e^{-y}+e^y)^2+\sin^2{x}(e^{-y}-e^y)^2}[/math]

Aggiunto 12 minuti più tardi:

teoricamente si otterrebbe qualcosa di questo genere:
[math]\frac{-i\cos^2{x}(e^{-2y}-e^{2y})-\cos{x}\sin{x}(e^{-y}-e^y)^2+\sin{x}\cos{x}(e^{-y}+e^y)^2-i\sin^2{x}(e^{-2y}-e^{2y})}{\cos^2{x}(e^{-y}+e^y)^2+\sin^2{x}(e^{-y}-e^y)^2}[/math]

Aggiunto 18 minuti più tardi:

isolando i termini con la i:
[math]\frac{\cos{x}\sin{x}[(e^{-y}+e^y)^2(e^{-y}-e^y)^2]-i(e^{-2y}-e^{2y})(\cos^2{x}+\sin^2{x)}}{\cos^2{x}(e^{-y}+e^y)^2+\sin^2{x}(e^{-y}-e^y)^2}[/math]

Aggiunto 9 minuti più tardi:

[math]\frac{\cos{x}\sin{x}[(e^{-2y}+e^{2y}+2)(e^{-2y}+e^{2y}-2)]-i(e^{-2y}-e^{2y})}{cos^2{x}(e^{-2y}+e^{2y}+2)+\sin^2{x}(e^{-2y}+e^{2y}-2)[/math]

Aggiunto 9 minuti più tardi:

[math]\cos{x}\sin{x}[e^{-4y}-2e^{-2y}+e^{4y}+2e^{-2y}-2]CONTINUA DOPO...[/math]
xico87
xico87 - Mito - 28236 Punti
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pare tutto giusto fino a dove hai isolato la parte immaginaria da quella reale al numeratore (terzultima espressione), quindi direi che va bene.
il resto sono normali prodotti, ma non è necessario farli

# Newton_1372 :

[math] \tan{z}=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{i(e^{iz}+e^{-iz})}=\frac{e^{ix-y}-e^{-ix+y}}{i(e^{ix-y}+e^{-ix+y})} [/math]
Per la formula di Eulero, che vede e^ix = cos x + i sin x, possiamo scrivere:
[math] \frac{1}{i}\frac{e^{-y}(\cos{x}+i\sin{x})-\frac{e^y}{\cos{x}+i\sin{x}}}{e^{-y}(\cos{x}+i\sin{x})-\frac{e^y}{\cos{x}+i\sin{x})}}[/math]

Aggiunto 5 minuti più tardi:

La doppia frazione del numeratore e del denominatore si può togliere nel seguente modo: [...]

suggerimento per il futuro:
[math] e^{-jx} \left( = \frac {1}{e^{jx}} \right) = e^{j(-x)} = \cos x - j \sin x [/math]
Newton_1372
Newton_1372 - Genius - 2097 Punti
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ok mi secca a postare ulteriori passaggi, vi metto la soluazione vorrei sapere solo se è giusta...
[math] \tan{z}=\frac{\cos{x}\sin{x}(e^{-4y}+e^{4y})-\sin{2x}-i(e^{-2y}-e^{2y})}{e^{-2y}+e^{2y}+2\cos{2x}}[/math]

allora è giusta o no?!!!!!

PS...Sono già pronto per lo champagne

Aggiunto 1 ore 2 minuti più tardi:

allora lo stappo sto champagne o no?!

Aggiunto 2 ore 49 minuti più tardi:

eHI VI PREGO LO CHAMPAGNE mi si scade così!
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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Mmmmmmm......

a me viene così:

[math]\tan z=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{i(e^{iz}+e^{-iz})}=-i\cdot\frac{e^{2iz}-1}{e^{2iz}+1}[/math]
.
Se ora
[math]z=x+iy[/math]
si ha
[math]e^{2i(x+iy)}=e^{-2y+2ix}=e^{-2y}\cdot e^{2ix}[/math]

e quindi

[math]\tan z=-i\cdot\frac{e^{-2y}\cdot e^{2ix}-1}{e^{-2y}\cdot e^{2ix}+1}=
-i\cdot\frac{e^{2ix}-e^{2y}}{e^{2ix}+e^{2y}}=\\
=-i\cdot\frac{(e^{2ix}-e^{2y})(e^{-2ix}+e^{2y})}{(e^{2ix}+e^{2y})(e^{-2ix}+e^{2y})}=-i\cdot\frac{1+e^{2y}(e^{2ix}-e^{-2ix})-e^{4y}}{1+e^{2y}(e^{2ix}+e^{2ix})+e^{4y}}=\\
=-i\cdot\frac{1+2i e^{2y}\sin(2x)-e^{4y}}{1+2e^{2y}\cos(2x)+e^{4y}}=
\frac{2e^{2y}\sin(2x)+i(e^{4y}-1)}{1+2e^{2y}\cos(2x)+e^{4y}}[/math]

In fin dei conti mi sembra la stessa cosa.

Aggiunto 40 secondi più tardi:

No, forse il tuo numeratore è diverso!

Questa risposta è stata cambiata da ciampax (10-12-09 23:42, 7 anni 2 giorni )
Newton_1372
Newton_1372 - Genius - 2097 Punti
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a me viene così:

[math]\tan z=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{i(e^{iz}+e^{-iz})}=[-i\cdot\frac{e^{2iz}-1}{e^{2iz}+1}]???[/math]
.
Chiedo scusa...ma..che hai combinato? voglio aver fede che questo passaggio sia corretto, ma mi spiegheresti per favore come hai fatto?!

Aggiunto 5 minuti più tardi:

AH ORA HO CAPITO TUTTO!!!!!:) Cioè...quasi tutto! hai messo in evidenza e^-z...adesso ci provo io...

Aggiunto 7 ore 59 minuti più tardi:

CE L'HO FATTAAAAAAAAAAAAAAAAA!!!!! GRAZIE A TUTTI!!!!!!!
ehi Ciampax...ma mettere tutto in evidenza è così fondamentale per giungere alla soluazione esatta?!
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