kimy
kimy - Habilis - 154 Punti
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Ciao qualcuno mi può spiegare in maniera chiara e semplice questo esercizio?

[math]f(x)=x^4+10x^2+24 [/math]

perchè la sua fattorizzazione in Q è =
[math](2/3 x^2 + 16/6) * (3/2 x^2 + 9) [/math]
e in Z =
[math] (x^2 + 4) * (x^2 + 6) [/math]


come bisognerebbe procedere?
so che si potrebbe applicare il Lemma Di Gauss, ma non so come

mi potete aiutare, grazie
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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Ma stai a prendere gli esercizi dal libro della Cattaneo? :)

Cmq, il motivo del perché tu abbia quelle due fattorizzazioni è riconducibile ad un semplice fatto, e cioè che ogni volte tu hai un polinomio a coefficienti razionali ne puoi costruire uno a coefficienti interi che mantiene le stesse caratteristiche del precedente (riducibile o irriducibile). Infatti se
[math]f(x)\in\mathbb{Q}[x][/math]
ha i coefficienti
[math]a_i/b_i[/math]
allora puoi costruire il nuovo polinomio
[math]g(x)=m\cdot f(x)[/math]

dove
[math]m=mcm(b_i)[/math]
che è a coefficienti interi che puoi indicare con
[math]c_i[/math]
. Ora se
[math]d=MCD(c_i)[/math]
puoi raccogliere tale valore e scrivere il nuovo polinomio
[math]d\cdot g'(x)=g(x)[/math]

dove ovviamente i coefficienti di
[math]g'[/math]
sono ancora interi ma tutti uguali a
[math]c_i/d[/math]
. A questo punto hai
[math]f(x)=\frac{d}{m}\cdot g'(x)[/math]

da cui deduci che ogni volta tu prendi un polinomio a coefficienti razionali ne puoi trovare uno a coefficienti interi che ha le stesse cartteristiche.

In realtà tutta sta roba ha fine pratico zero, ma è utile in questo senso: ogni volta che devi fattorizzare, visto che Q è un campo mentre Z non lo è, basta ragionare su Q, fattorizzare e poi rimoltiplicare tutto per m/d, in modo da ottenere una fattorizzazione su Z.


Ora per lavorare nel tuo caso,puoi procedere così. Il polinomio è in Z[x]. Poiché se poni
[math]t=x^2[/math]
ottieni
[math]t^2+10t+24=(t+6)(t+4)[/math]

ne deduci la fattorizzazione in Z

[math](x^2+4)(x^2+6)[/math]

e ovviamente non puoi fattorizzare ulteriormente. Per dedurre quella in Q, osserva che puoi scegliere 2 polinomi di secondo grado il cui prodotto dia il polinomio di partenza, da cui

[math](\alpha x^2+\beta)(x^2/\alpha+\gamma)=x^4+10x^2+24[/math]

(nota che puoi scrivere questa cosa solo se pensi a coefficienti razionali!) da cui

[math]x^4+(\alpha\gamma+\beta/\alpha)x^2+\gamma\beta=x^4+10x^2+24[/math]

A questo punto risolvi il sistema

[math]\gamma\beta=24,\qquad \alpha\gamma+\beta/\alpha=10[/math]

in Q. La cosa è un po' laboriosa ma scopri che la soluzione (una delle possibili!) è quella da te scritta. Inoltre, da questa, trovando

[math]m_1=mcm(3,6)=6,\qquad m_2=mcm(2,1)=2[/math]

e quindi

[math]d_1=MCD(4,16)=4,\qquad d_2=MCD(3, 18 )=3[/math]

da cui

[math](2x^2/3+16/6)(3x^2/2+9)=\frac{4}{6}(x^2+4)\cdot\frac{3}{2}(x^2+6)=(x^2+4)(x^2+6)[/math]

che è la fattorizzazione in Z!
kimy
kimy - Habilis - 154 Punti
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ok grazie ciampax

un'ultima domanda:
un polinomio f(x) appartenente a Z è irriducibile se è primitivo?

ps: l'esercizio l'ho preso da una dispensa ke ho trovato online
:satisfied
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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No! Ad esempio

[math]x^2+2x+1[/math]

è primitivo (il MCD tra 1,1 e 2 è 1) ma è riducibile inquanto è uguale a

[math](x+1)^2[/math]
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