calimero92
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BIT5
BIT5 - Mito - 28446 Punti
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[math]\frac{ \(9^{(x+1)} \) ^{(\frac{1}{x})}}{ \(3^{(1-x)} \) ^{(\frac{1}{x})}}=\sqrt{5}[/math]

e' cosi'?
BIT5
BIT5 - Mito - 28446 Punti
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[math]\frac{ \(9^{(x+1)} \) ^{(\frac{1}{x})}}{ \(3^{(1-x)} \) ^{(\frac{1}{x})}}=\sqrt{5}[/math]

[math] \frac{(3^{2x+2})^{1/x}}{(3^{1-x})^{1/x}= \sqrt5 [/math]

[math] \frac{3^2 \cdot 3^{2/x}}{3^{1/x}3^{-1}}= \sqrt5 [/math]

[math] 3^3 \cdot 3^{1/x}= \sqrt5 [/math]

[math] 3^{1/x}= \frac{ \sqrt5}{3^3} [/math]

[math] \log_33^{1/x}= \log_3 \frac{ \sqrt5}{3^3} [/math]

[math] \frac{1}{x}= \log_3 \sqrt5 - \log_33^3 [/math]

[math] x= \frac{1}{ \log_3 \sqrt5 - 3} [/math]

Dovrebbe essere cosi'..
aleio1
aleio1 - Mito - 18949 Punti
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l'argomento del logaritmo deve essere sempre maggiore strettamente di 0, quindi per ogni argomento poni questa condizione:

esempio

x > 2y
x > -y
3x > y

quindi se dovesse capitarti una soluzione (x,y) che soddisfa una delle condizioni scritte sopra dovrai scartarla.

in questo caso hai log(x^2-xy-2y^2)= log(28 ) [ho sottointeso la base)
e log(3x^2-7xy+2y^2)=log(112)

dovresti cavartela in qualche modo..
aleio1
aleio1 - Mito - 18949 Punti
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certo che devi ricavare x ed y..o almeno è questo che devi fare se il problema richiede di risolvere il sistema..in ogni caso in sistema è di secondo grado in 2 incognite..quindi potrebbe non ammettere una sola soluzione..
ps. non ha senso ricavare le incognite dalle condizioni sul dominio..
BIT5
BIT5 - Mito - 28446 Punti
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[math] \{ log_2 (x-2y)+log_2 (x+y)=2+log_2 7 \\ log_2(3x-y)-4=log_2 7-log_2(x-2y)[/math]

Il campo di esistenza e' indispensabile.
Beh, certo che porre, ad esempio, 7>0, e' un'inutile perdita di tempo.

E' come se avessi una frazione con un numero noto al denominatore. Non discuti il denominatore, perche' e' ovvio che essendo un numero, non sara' mai = 0.

Se avessi, ad esempio, log (-7 ), ti fermeresti immediatamente perche' ti troveresti davanti un logaritmo che non esiste e che ti rende irrisolvibile il tutto.

Detto questo, quindi, il campo di esistenza (senza ripetere due volte gli argomenti doppi (come, ad esempio, x-2y) sara':

[math] \{ x-2y>0 \\ x+y>0 \\ 3x-y>0 [/math]

Da cui

[math] \{y< \frac{x}{2} \\ y>-x \\ y<3x [/math]

.
BIT5
BIT5 - Mito - 28446 Punti
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Ricordando le proprieta' dei logaritmi:

[math] \log_a (xy)= \log_a x + \log_a b[/math]

(e' un'uguaglianza, quindi vale anche il contrario)

Prendiamo la prima

[math] \log_2 (x-2y) + \log_2 (x+y)=2 + \log_2 7 [/math]

Inoltre sapendo che
[math] n= \log_a a^n [/math]

[math] \log_2 (x-2y) + \log_2 (x+y)= \log_2 2^2 + \log_2 7 [/math]

[math] \log_2 ((x-2y)(x+y)) = \log_2 (4 \cdot 7) [/math]

Affinche' due logaritmi con stessa base siano uguali, e' sufficiente che gli argomenti siano uguali

[math] (x-2y)(x+y) = 28 [/math]

E quindi

[math] x^2+xy-2xy-2y^2=28 \to x^2-xy-2y^2=28 [/math]

la seconda equazione analogamente (porto incognite a sinistra e numeri a destra, per comodita')

[math] \log_2 (3x-y)+ \log_2 (x-2y) = \log_2 7 + \log_2 2^4 [/math]

Come prima

[math] (3x-y)(x-2y)=7 \cdot 16 [/math]

[math] 3x^2-6xy-xy+2y^2=112 \to 3x^2-7xy+2y^2=112 [/math]

Quindi dovremo risolvere il sistema:

[math] \{ x^2-xy-2y^2=28 \\ 3x^2-7xy+2y^2=112 [/math]

Siccome abbiamo un sistema di due equazioni a due incognite e di secondo grado, per semplicita' eliminerei i numeri..

Se moltiplichi per 4 la prima equazione avrai

[math] \{ 4x^2-4xy-8y^2=112 \\ 3x^2-7xy+2y^2=112 [/math]

E quindi, siccome sia la prima che la seconda equazione (sinistra) sono uguali a 112, allora per il metodo del confronto, siccome 112=112, allora

[math] 4x^2-4xy-8y^2=3x^2-7xy+2y^2 [/math]

porto tutto a sinistra

[math] x^2+3xy-10y^2=0 [/math]

Risolvo con la formula delle equazioni di secondo grado (considero x incognita)

[math] x_{1,2}= \frac{ -3y \pm \sqrt{9y^2+40y^2}}{2}= \frac{-3y \pm 7y}{2} [/math]

Da cui

[math] x_1= 2y \ \ \ \ x_2=-5y [/math]

A questo punto sostituisci prima un valore poi l'altro alle x di una delle due equazioni, e trovi i valori di y.

Una volta trovate le y, ricavi le x dalle soluzioni di sopra
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