arutrops
arutrops - Habilis - 219 Punti
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Ciao a tutti, dato che domani ho compito vorrei sapere se questo esercizio è corretto :)

[math]\frac{1-cos^2α}{1+cos^2α}*cotgα[/math]

mi esce
[math]\frac{cosα}{senα}[/math]

è giusto?

grazie ;)
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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Mmmmmm.... no! Il primo termine non si semplifica, per cui mi pare molto difficile che possa uscire quello che dici tu, visto che coincide con la cotangente. Quello che puoi scrivere è la cosa seguente: dal momento che

[math]1-\cos^2\alpha=\sin^2\alpha,\qquad \cot\alpha=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}[/math]

allora

[math]\frac{1-\cos^2\alpha}{1+\cos^2\alpha}\cdot\cot\alpha=\frac{\sin^\alpha}{1+\cos^2\alpha}\cdot\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}=\frac{\sin\alpha\ \cos\alpha}{1+\cos^2\alpha}[/math]

A questo punto, dalle formule di duplicazione:

[math]\sin(2\alpha)=2\sin\alpha\ \cos\alpha,\qquad \cos(2\alpha)=2\cos^2\alpha-1[/math]

ricavi

[math]=\frac{\frac{1}{2}\ \sin(2\alpha)}{1+\frac{1+\cos(2\alpha)}{2}}=\frac{\sin(2\alpha)}{2}\cdot\frac{2}{3+\cos(2\alpha)}=\frac{\sin(2\alpha)}{3+\cos(2\alpha)}[/math]

e non vedo, a questo punto, ulteriori semplificazioni.
arutrops
arutrops - Habilis - 219 Punti
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no ehm, sono una sciocca! nella traccia non è
[math]cos^2α[/math]
ma
[math]cos2α[/math]

sorry :(
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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Quindi, la traccia è

[math]\frac{1-\cos(2\alpha)}{1+\cos(2\alpha)}\cdot\cot\alpha[/math]

giusto? Allora, usando il fatto che

[math]\cos(2\alpha)=2\cos^2\alpha-1=1-2\sin^2\alpha[/math]

possiamo scrivere

[math]\frac{2\sin^2\alpha}{2\cos^2\alpha}\cdot\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\tan\alpha[/math]
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