mate15
mate15 - Bannato - 29 Punti
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salve avrei un aiuto su come svolgere questo esercizio..
si risolva ,se esiste ,attraverso l'uso di limiti notevoli il seguente limite
[math]\lim_{x \to +\infty }\frac{4x-3\cdot 2^{x}}{\left ( 5\cdot 2^{x-1} -3\right )\left ( \sqrt{2x}-\sqrt{x-1} \right )}[/math]

abbiamo che il limite si presenti nelle seguenti forme indeterminate ovvero:
[math]\frac{\infty -\infty }{\infty \left ( \infty -\infty \right )}[/math]

se mi potete aiutare spiegandomi
come poter iniziare a risolverlo..
grazie
TeM
TeM - Eliminato - 23454 Punti
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Ti faccio notare che

[math]
\begin{aligned}

& \dots \lim_{x \to +\infty} \frac{4x - 3\cdot 2^x}{\left(5\cdot 2^{x - 1} - 3\right)\left(\sqrt{2x} - \sqrt{x - 1}\right)} \\

& = \lim_{x \to +\infty} \frac{4x - 3\cdot 2^x}{5\cdot 2^{x - 1} - 3} \cdot \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{\sqrt{2x} - \sqrt{x - 1}}\frac{\sqrt{2x} + \sqrt{x - 1}}{\sqrt{2x} + \sqrt{x - 1}} \\

\end{aligned}
[/math]


A questo punto concludi la razionalizzazione al secondo limite e
poi ragiona sulla gerarchia degli infiniti in entrambi i limiti. :)
mate15
mate15 - Bannato - 29 Punti
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allora per quanto riguarda la razionalizzazione abbiamo che:

[math]\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{\sqrt{2x} - \sqrt{x - 1}}\frac{\sqrt{2x} + \sqrt{x - 1}}{\sqrt{2x} + \sqrt{x - 1}}[/math]


[math]\lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{2x}+\sqrt{x-1}}{2x-x+1}[/math]


[math]\lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{2x}+\sqrt{x\left ( 1-\frac{1}{x} \right )}}{2x-x+1} [/math]


[math]\lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{2x}+\sqrt{x}}{2x-x+1}[/math]

[math]\lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{2}\sqrt{x}+\sqrt{x}}{x+1} [/math]

[math]\lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{x}\left ( \sqrt{2} +1\right )}{x\left ( 1+\frac{1}{x} \right )} [/math]

[math]\lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{x}}{x}=\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{\sqrt{x}}=0[/math]

è giusto??fammi sapere..
per quanto riguarda il primo limite non riesco a trovare una strada...
mi puoi spiegare la gerarchia degli infiniti..
se mi puoi aiutare..
grazie...
TeM
TeM - Eliminato - 23454 Punti
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Oh, molto bene. Per quanto riguarda la gerarchia degli infiniti, essenzialmente, occorre tener ben presente che non tutte le funzioni tendono al proprio limite con la stessa rapidità. Dal momento in
cui si riesce a stabilire quella più rapida essa dominerà sulle altre che al limite si potranno a loro volta trascurare, permettendo così di semplificarne lo studio. Nello specifico, magari osservando i rispettivi grafici, non è difficile convincersi del fatto che gli esponenziali corrono all'infinito molto più celermente rispetto alle potenze e per tal motivo, al limite, quest'ultime sono trascurabili. In matematichese, ciò si traduce così:
[math]
\begin{aligned}
\lim_{x \to +\infty} \frac{4x - 3\cdot 2^x}{5\cdot 2^{x-1} - 3}
= \lim_{x \to +\infty} \frac{- 3\cdot 2^x}{\frac{5}{2}\cdot 2^{x}}
= -\frac{6}{5} \; .
\end{aligned} \\
[/math]

Tutto qui. ;)
mate15
mate15 - Bannato - 29 Punti
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scusa ma risolvendolo a me viene in questa maniera, raggruppando al numeratore e denominatore:

[math]\lim_{x \to +\infty }\frac{-3\cdot 2^{x}\left ( 1-\frac{4x}{3\cdot 2^{x}} \right )}{5\cdot 2^{x\left ( 1-\frac{1}{x} \right )}}[/math]


essendo
[math]\frac{4x}{3\cdot 2^{x}}[/math]

tendente a zero, si ha

[math]\lim_{x \to +\infty }\frac{-3\cdot 2^{x}}{5\cdot 2^{x}\left ( 1-\frac{3}{5\cdot 2^{x}} \right )}[/math]


essendo
[math]\frac{3}{5\cdot 2^{x}} [/math]

tendente a zero,si ottiene


[math]\lim_{x \to +\infty }\frac{-3\cdot 2^{x}}{5\cdot 2^{x}}[/math]

e semplificando si ottiene che sarà uguale a

[math] -\frac{3}{5}[/math]

e quindi il limite di partenza sarà uguale al prodotto dei limiti ovvero:

[math]-\frac{3}{5}\cdot 0= 0[/math]

è giusto???
fammi sapere se ho sbagliato qualche calcolo..
grazie..
TeM
TeM - Eliminato - 23454 Punti
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# mate15 : scusa ma risolvendolo a me viene in questa maniera, raggruppando al numeratore e denominatore:
[math]\lim_{x \to +\infty }\frac{-3\cdot 2^{x}\left ( 1-\frac{4x}{3\cdot 2^{x}} \right )}{5\cdot 2^{x\left ( 1-\frac{1}{x} \right )}}[/math]
No, per carità non farmi vedere certe cose... le proprietà delle potenze (estendibili in maniera naturale agli esponenziali) non le ricordi?? Infatti...
[math]2^{x-1}=2^{x}\cdot 2^{-1}=\frac{1}{2}2^x[/math]
. A questo punto tornerà esattamente ciò che ti ho scritto. Il limite di partenza a quel punto sarà zero. ;)
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