elbarto1993
elbarto1993 - Sapiens - 328 Punti
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Per quale valore di "k" la parabola y=2x^2+x+k è tangente alla retta x-y-3=0 ?
BIT5
BIT5 - Mito - 28446 Punti
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Trova i punti di intersezione tra la retta e la parabola, avendo cura di considerare k come fosse un numero.

Le intersezioni tra due curve o funzioni, si trovano con il sistema.

[math] \{ y=2x^2+x+k \\ x-y-3=0 [/math]

Scriviamo la retta in forma esplicita

[math] y=x-3 [/math]

Dal momento che y=y allora il corrispondente della parabola sara' uguale al corrispondente della retta, e quindi il sistema sara'

[math] 2x^2+x+k=x-3 \to 2x^2+k+3=0 [/math]

Abbiamo un'equazione incompleta di secondo grado (manca il x alla prima)

Quindi portiamo tutti i valori a destra, come fosse un'equazione di primo grado

[math] 2x^2=-k-3 \to x^2= \frac{-k-3}{2} \to x= \pm \sqrt{ \frac{-k-3}{2}} [/math]

I due valori trovati (in funzione di k) esprimono, a seconda di k, il valore delle 2 ascisse dei due punti di intersezione tra retta e parabola.

Affinche' la retta sia tangente, dovremo fare in modo che le due x siano coincidenti.

In questo caso
[math] - \sqrt{ \frac{-k-3}{2}}=+ \sqrt{ \frac{-k-3}{2}} [/math]

Ma esiste solo un caso in cui due valori identici ma uno negativo e uno positivo siano uguali, ovvero quando questo valore e' zero.

Pertanto
[math] \frac{-k-3}{2}=0 \to -k-3=0 \to k=-3 [/math]

La parabola tangente alla retta data sara' dunque

[math] 2x^2+x-3 [/math]

Se hai dubbi chiedi..
adry105
adry105 - Genius - 3918 Punti
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# BIT5 :

Quindi portiamo tutti i valori a destra, come fosse un'equazione di primo grado

[math] 2x^2=-k-3 \to x^2= \frac{-k-3}{2} \to x= \pm \sqrt{ \frac{-k-3}{2}} [/math]



Ma in teoria da questa non dovresti imporre che k sia minore o uguale a -3?.:.

Comunque io ho risolto così poi non so :):

Dalle formule polari una generica retta tangente alla parabola nel punto
[math](x_o,y_o)[/math]
è:
[math]2x_ox+\frac{x+x_o}{2}-\frac{y+y_o}{2}+k=0[/math]

[math]4x_ox+x+x_o-y-y_o+2k=0[/math]

[math](4x_o+1)x-y+x_o-y_o+2k=0[/math]

Da cui segue:

[math](4x_o+1)=1[/math]
e quindi:
[math]x_o=0[/math]

Poichè il punto appartiene anche alla retta tangente segue che:
[math]y_o=-3[/math]

Quindi:

[math]x_o-y_o+2k=-3[/math]
da cui segue:
[math]k= -3[/math]

Aggiunto 3 minuti più tardi:

Aaaaaaah ma anche la tua risoluzione è giusta! Hai perso un segno per strada alla fine =D
BIT5
BIT5 - Mito - 28446 Punti
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Gia' :D
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