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Salve ragazzi potreste aiutarmi a fare lo studio di questa funzione?

y= x^2 - 3x - 10
___________________
|X+1| - 2

Devo studiare il dominio, il segno, intersezione con gli assi, la simmetria e gli asintoti

Grazie in anticipo!

Aggiunto 10 ore 26 minuti più tardi:

si

Aggiunto 30 secondi più tardi:

si.
BIT5
BIT5 - Mito - 28446 Punti
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Dunque....

confermami intanto la funzione:

[math] y= \frac{x^2-3x-10}{|x+1|-2} [/math]

E' questa?

Aggiunto 15 ore 14 minuti più tardi:

Ripassiamo il significato del valore assoluto:

Esso rende positivo qualunque valore sia in esso contenuto.
Pertanto se l'argomento del valore assoluto e' positivo, l'operatore valore assoluto non opera in alcun modo, mentre se l'argomento e' negativo, il valore assoluto "trasforma" l'argomento in un valore positivo, ovvero, algebricamente, ne cambia il segno.
Se l'argomento e' nullo, il valore assoluto non opera.

Vediamo dunque quando l'argomento del valore assoluto e' positivo (o nullo)

[math] x+1 \ge 0 \to x \ge -1 [/math]

Pertanto per x maggiore o uguale di -1, il valore assoluto non ha alcun significato, mentre per x<-1 il valore assoluto cambia i segni.

La funzione potra' pertanto essere riscritta cosi':

[math] f(x)= \{\frac{x^2-3x-10}{x+1-2} \ \ per x \ge -1 \\ \frac{x^2-3x-10}{-(x+1)-2} \ \ per \ \ x<-1 [/math]

Dominio della funzione:

E' una funzione fratta, pertanto unica limitazione sul dominio sara' denominatore diverso da zero..

Il primo "pezzo" ha al denominatore x-1, che sara' diverso da zero per
[math] x \ne 1 [/math]
, valore che appartiene all'intervallo di studio (x >= -1) e pertanto dovra' essere escluso.
Il secondo pezzo, ha al denominatore -x-3 che sara' diverso da zero per
[math] x \ne -3 [/math]
valore che appartiene a x<-1 e pertanto dovra' essere escluso anch'esso.
Pertanto il dominio sara'

[math] \( - \infty , -3 \) \cup \(-3,-1 \) \cup \(-1,+ \infty \) [/math]

Aggiunto 20 minuti più tardi:

Intersezione con gli assi:

Asse y: x=0

x=0 appartiene al primo pezzo di funzione, e pertanto la funzione varra'

[math] f(0)= \frac{0^2-3 \cdot 0 -1}{1-2}= \frac{-1}{-1}=1 [/math]

Pertanto la funzione interseca l'asse y nel punto (0,1)

Asse x: y=0

La funzione sara' = 0 quando il numeratore e' uguale a zero, e dunque:

[math] x^2-3x-10=0 \to (x-5)(x+2)=0 \to x=-2 \cup x=5 [/math]

Il numeratore che si annulla in x=-2 appartiene al secondo pezzo di funzione, mentre quello che si annulla per x=5 al primo.

La funzione interseca l'asse x in due punti, (-2,0) e (5,0).

Le intersezioni con gli assi sono un ottimo indicatore per capire se la funzione presenta qualche simmetria.

Infatti se le intersezioni con gli assi sono simmetriche (ad esempio (-1,0) e (1,0)) potrebbe (ma non e' detto) esserci una simmetria (e pertanto la funzione potrebbe essere pari o dispari)

Infatti le funzioni pari o dispari, hanno intersezione con gli assi simmetriche rispetto all'asse y.

Pertanto possiamo, senza perderci in inutili calcoli, concludere che la funzione che stiamo studiando non e' simmetrica (quindi ne' pari ne' dispari)

Anche per il segno dovremo studiare a pezzi..

Intanto, dal momento che il numeratore e' il medesimo, per entrambi i pezzi, studiamo il segno del numeratore:

[math] x^2-3x-10 > 0 \to (x-5)(x+2) >0 \to x<-2 \cup x>5 [/math]

Per studiare il denominatore invece dobbiamo considerare gli intervalli di prima..

quindi per x<-1 avremo D>0 --> -x-3>0 -->x<-3

Quindi studiando i segni (prima di -1!!!) avremo

f(x)>0 per x<-3 U -2<x<-1

Mentre per x >=-1 avremo

D>0 --> x-1>0 -->x>1

E dunque (siamo nell'intervallo x>=-1) studiando i segni con il numeratore, avremo

[math] f(x)>0 per -1 \le x < 1 U x > 5 [/math]

L'unione delle due soluzioni dara', dunque, positivita' per

[math] x<-3 \cup -2<x<-1 \cup -1 \le x<1 \cup x>5 [/math]

che per unione in -1 dara' come risultato finale

[math] x<-3 \cup -2<x<1 \cup x>5 [/math]

in x=-2 e x=5 la funzione si annulla, mentre in x=1 e x=-3 la funzione non e' definita

Aggiunto 5 minuti più tardi:

Per gli eventuali asintoti dovrai calcolare il limite destro e il limite sinistro dei punti di discontinuita' (x=-3 e x=1)

Per il primo, userai la funzione definita per x<-1 mentre per il secondo, l'altra..

[math] \lim_{x \to -3^-} \frac{x^2-3x-10}{-x-3} = \frac{9+9-10}{3^--3}= \frac{9}{0^-}=- \infty [/math]

Infatti un numeratore qualunque, diviso per un numero infinitamente piccolo (ma negativo) da' come risultato del limite -infinito

Pertanto x=-3 e' asintoto verticale.

Calcolato per x-->3+ dara' come risultato + infinito

Poi calcolerai (nell'altro pezzo, perche' x-->1 e' maggiore di -1)

[math] \lim_{x \to 1^-} \frac{x^2-3x-10}{x-1} = \frac{-12}{0^-}=+ \infty [/math]

infatti un numero negativo (-12) fratto un numero negativo (0-) da' un valore positivo. e un valore finito fratto un valore infinitamente piccolo da' infinito.

Gli altri puoi farli tu..
anche x=1 sara' asintoto verticale

Aggiunto 3 minuti più tardi:

Infine devi studiare la funzione all'infinito.

Il limite a -infinito lo calcolerai sulla prima funzione:

[math] \lim_{x \to - \infty} \frac{x^2-3x-10}{-x-3}= \frac{x^2 \(1- \no{\frac{3}{x}}^0- \no{\frac{10}{x^2}}^0 \)}{x \(-1- \no{\frac{3}{x}}^0\)}= \frac{x^{\no{2}^1}}{-\no{x}^1}= -x = + \infty [/math]

a sinistra non vi e' asintoto orizzontale...

Stessa cosa fai a destra, con l'altro pezzo di funzione
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