silber
silber - Sapiens - 552 Punti
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Per quali valori di k la funzione

[math]y= \frac{1}{7}[/math]
[math]\frac{7x-13}{7x^2-2(k-1)x+2k}[/math]

presenta due asintoti paralleli all'asse y? e per quali valori la distanza tra i due asintoti è uguale a 1/2?

ho provato a fare qualcosa ma non ne vengo a capo. Un aiuto sarebbe ben accetto, grazie mille
aleio1
aleio1 - Mito - 18949 Punti
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per avere un asintoto orizzontale bisogna che sia

[math]\lim_{x\to x_0}f(x)=\pm\infty[/math]
.
Nel caso della tua funzione un caso simile si presenta quando il denominatore è uguale a 0.

Il denominatore è un polinomio di secondo grado dipendente da un parametro
[math]k[/math]
. Esso si annulla solo nel caso in cui il suo discriminante sia maggiore o uguale a 0. Dunque:
[math]\Delta_{7x^2-2(k-1)x+2k}=4(k^2-2k+1)-56k=4k^2-64k+4\ge0\Leftrightarrow[/math]

[math]\Leftrightarrow k\le 8-3sqrt7 \ \vee \ k\ge 8+3sqrt7[/math]

Dato che l'esercizio chiede che vi siano 2 asintoti il delta del denominatore deve essere strettamente maggiore di 0 (perchè si deve annullare in due punti distinti), dunque la funzione ha 2 asintoti verticali per i seguenti valori di
[math]k[/math]

[math]\Leftrightarrow k< 8-3sqrt7 \ \vee \ k> 8+3sqrt7[/math]


Per la distanza pensaci tu..:)

Aggiunto 2 minuti più tardi:

trova i valori di x per cui il denominatore si annulli. Saranno 2 valori in funzione di k. Imponi che la loro distanza sia quella che ti serve e hai fatto..
aleio1
aleio1 - Mito - 18949 Punti
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dovresti riscrivere la funzione..c'è quell' 1/7 che non si capisce che ruolo abbia..

Aggiunto 2 minuti più tardi:

insomma..specifica con delle parentesi numeratori e denominatori..

esempio se hai
[math]\frac{4x^2+5x-1}{4x+3}[/math]
scrivi (4x^2+5x-1)/(4x+3)
o ancora meglio cerca di usare il LaTex
silber
silber - Sapiens - 552 Punti
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l'1/7 moltiplica la frazione.

così è scritto l'esercizio sul libro, comunque ora cerco di sistemarlo con questo latex anche se non so come si usa...grazie per l'attenzione

Aggiunto 5 minuti più tardi:

ecco così è tale e quale a quella sul libro
silber
silber - Sapiens - 552 Punti
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grazie mille

per il punto uno: tutto ok ho capito il procedimento logico, solo che i risultati del libro sono
[math]k<2- \sqrt{3} V k>2+\sqrt{3}[/math]
ambedue i segni comprendo l'uguale che non so come si mette, pardon!
il secondo punto più tardi mi ci metto
aleio1
aleio1 - Mito - 18949 Punti
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non saprei..i calcoli penso siano giusti..

Aggiunto 7 minuti più tardi:

sono quasi certo della bontà del mio svolgimento e dei miei calcoli :)

Aggiunto 39 minuti più tardi:

sai che un'equazione di secondo grado può avere al massimo 2 soluzioni.

Ne ha 2 distinte se e solo se il discriminante è strettamente maggiore di 0
Ne ha 1 (in realtà sarebbero due coincidenti) se e solo se il discriminante è uguale a 0
Non ne ha nessuna se e solo se il discriminante è strettamente minore di 0

Detto ciò, affinchè tu abbia 2 asintoti verticali è necessario che il denominatore si annulli in 2 punti distinti, perchè se si annullasse in un solo punto potresti avere al massimo un asintoto verticale.

Per questo abbiamo posto che il delta fosse maggiore strettamente di 0.
silber
silber - Sapiens - 552 Punti
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ho trovato l'errore: era che il 7 della prima frazione ha moltiplicato solo il primo membro del polinomio del denominatore.

in ogni caso potresti spiegarmi il perchè del porre maggiore o uguale a 0 il delta, non ho ben capito, scusami se ti disturbo ma è perchè quando chiedo un aiuto vorrei pure capire
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