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ariete93 - Erectus - 54 Punti
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P(0;0) y=x^2-5x+6 trovare le equazioni delle rette tangenti alla parabola
BIT5
BIT5 - Mito - 28446 Punti
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Sapendo che da un punto passano infinite rette, troviamo il fascio di rette

[math] y-y_P=m(x-x_P) [/math]

dove yP e xP sono le coordinate del punto

Il fascio, in questo caso, sara'
[math] y-0=m(x-0) \to y=mx [/math]

Troviamo i punti di intersezione tra il fascio e la parabola:

[math] \{ y=mx \\ y=x^2-5x+6 [/math]

e siccome y=mx, sostituisco alla y della parabola il valore mx e risolvo:

[math] mx=x^2-5x+6 \to x^2+(-5-m)x+6=0 [/math]

a questo punto sappiamo che l'equazione di secondo grado che ho appena scritto, dara' due soluzioni (che esprimono le ascisse dei due punti di intersezione) se il delta della soluzione e' maggiore di zero, nessuna soluzione (ovvero nessun punto di intersezione) se delta <0 e una soluzione (ovvero due soluzioni coincidenti) per delta =0

Siccome noi vogliamo che la retta sia tangente, dobbiamo avere un solo punto di intersezione (ovvero due punti coincidenti) e quindi delta=0

[math] \Delta = (-5-m)^2-4(1)(+6) = 0 \to 25+10m+m^2-24=0 \to m^2+10m+1=0 [/math]

che ha come soluzioni

[math] m_{1,2}= -5 \pm \sqrt{25-1} = -5 \pm 2 \sqrt6 [/math]

che sono i due valori di m corrispondenti alle due rette del fascio tangenti alla parabola.

Quindi le rette saraano

[math] y=(-5 + 2 \sqrt6)x \\ y=(-5-2 \sqrt6)x [/math]

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