kekko91le
kekko91le - Ominide - 6 Punti
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Salve a tutti,
dovrei necessariamente risolvere questi esercizi su limiti ed asintoti entro e non oltre stasera e purtroppo domani ho anche compito di Latino, per cui dovrò dedicare gran parte del pomeriggio a questo. So di essermi organizzato male ma, purtroppo, ormai ho queste scadenze e vorrei rispettarle. Potreste, cortesemente, svolgere questi esercizi in foto con uno svolgimento comprensibile, in modo da agevolarmi il lavoro stasera quando mi metterò a farli? Giusto per avere una guida e risparmiare tempo, così da doverli soltanto capire...

Grazie...

jennyv
jennyv - Erectus - 140 Punti
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ciao, intanto ti risolvo qualche limite
lim x^(1/(x-1)basta porre x-1=t quindi otterrai un limite per t che tende a zero lim (t+1)^1/t, ma questo è un limite notevole che vale " e"
Newton_1372
Newton_1372 - Genius - 2097 Punti
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.............5 sin 3x
lim.......-------------
x->0....... 2 sin x/2

Poichè conosciamo il limite notevole sin f(x)/f(x) = 1, conviene dividere e moltiplicare per 3x il numeratore e per x/2 il numeratore. Si ottiene
............5 sin 3x
lim........----------3x
x->0...........3x
...........------------
........... 2 sin x/2
..........-------------x/2
...............x/2

Eliminando i limiti notevoli rimane

......5*3x.........15x
lim..-------=lim.-----=15
......2x/2.............x

PS Non chiedetemi di usare LaText o mi sparo!
romano90
romano90 - Genius - 8755 Punti
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newton, dovresti usarlo.. per esempio io non ho capito niente di quello che hai scritto :asd


Cmq, ti posso spiegare l'esercizio dove devi trovare a, in modo che quella funzione abbia come asintoto la retta
[math]y=x-2[/math]

Tu hai:
[math]\frac{ax^2-1}{x+2}[/math]

Dall'equazione che ci ha dato il problema, vedi che si tratta di un asintoto obliquo...

l'asintoto obliquo esiste se:

[math]\lim_{x \to \infty}f(x) =\infty[/math]

il limite della nostra funzione tende a infinito quindi:

equazione asintoto obliquo:
[math]y=mx+q \to y=x-2[/math]
quindi sai che m deve valere 1 e q deve valere -2.

[math]m=\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x}
\\ \lim_{x \to \infty} \frac{ax^2-1}{x(x+2)}=1
\\ \frac{ax^2-1}{x^2+2x}
[/math]

Prendi in considerazione soltanto i termini di grado massimo, quindi:
[math]\frac{x^2(a-\frac{1}{x^2})}{x^2(1+\frac{2}{x})} = \frac{ax^2}{x^2}=1 \to a=1[/math]

Se vuoi puoi continuare nel limite per verificare se la funzione
[math]\frac{x^2-1}{x+2}[/math]
ha effettivamente y=x-2 come asintoto obliquo
abbiamo trovato m=1.. quindi ora:

[math]q= \lim_{x \to \infty}f(x)-mx = \frac{x^2-1}{x+2}-x
\\ \frac{x^2-1-x^2-2x}{x+2} = \frac{-2x}{x+2} = -2


[/math]
Newton_1372
Newton_1372 - Genius - 2097 Punti
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Adesso sono pronto per scrivere la risoluzione di quel limite in latex! Mi riferisco al seguente
[math] \lim_{x\to0}{\frac{5\sin{3x}}{2\sin{\frac{x}{2}} [/math]

Aggiunto 6 minuti più tardi:

Pochè sappiamo che un limite notevole è lim sin f(x)/f(x) = 1 (con f(x) qualunque espressione), conviene moltiplicare e dividere il numeratore per 3x, in modo da ricondurci al limite notevole. Lo stesso si fa per il denominatore: si divida (e si moltiplichi) il denominatore per x/2.

[math] \lim_{x\to0} \frac{\frac{5\sin{3x}}{3x}3x}{\frac{2\sin{\frac{x}{2}}}{\frac{x}{2}}\frac{x}{2}[/math]

Aggiunto 3 minuti più tardi:

sin 3x/3x e sin(x/2)/(x/2) sono limiti notevoli, e vanno a 1. Ecco quindi che il nostro limite si riduce al seguente:

[math] \lim_{x\to0}\frac{5*3x}{2*\frac{x}{2}}=\lim_{x\to0}\frac{15x}{x}=15 [/math]

Il limite cercato dunque è 15.
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