BlackAngel
BlackAngel - Genius - 2009 Punti
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Ciao ragà sto provando a svolgere questi due esercizi, ma mi sono bloccata e non riesco a trovare 1 soluzione... Potreste aiutarmi??

Scrivere il rapporto incrementale della seguente funzione
[math]f(x)=log{(2x+5)}[/math]
nel suo punto
[math]x_{0}=-1[/math]
ed applicando la definizione si calcoli la derivata di f(x) in
[math]x_{0}=-1[/math]
.
Per prima cosa ho calcolato il rapporto incrementale:
[math]\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(-1+h)-f(-1)}{h}=\frac{log(3+h)-log3}{h}[/math]

Passando al limite, ricaviamo che
[math]\lim_{h\rightarrow\0}\frac{log(3+h)-log3}{h}=\frac{0}{0}[/math]
. Ora non riesco a trovare un modo per scomporre il polinomio. Come posso fare??

Determinare l'equazione della retta tangente sia a
[math]y=\frac{1}{x}[/math]
e
[math]y=-2\sqrt{x}[/math]
.
[math]y-y_{0}=m(x-x_{0})[/math]
Consideriamo due punti A e B il primo appartenente alla 1° curva ed il secondo alla seconda curva:
[math]A(\alpha;\frac{1}{\alpha})\\ B(\beta; 2\sqrt{\beta})[/math]

Andiamo a sostituire A e ricaviamo
[math]y-\frac{1}{\alpha}=m(x-\alpha)[/math]
e B e ricaviamo
[math]y-\2\sqrt\beta=m(x-\beta)[/math]
.
Quindi
[math]m_{1}=y^1(\alpha)=\frac{-1}{\alpha^2}[/math]
e
[math]m_{2}=y^1(\beta)=\frac{1}{\sqrt{beta}}[/math]
.
Ma dovendo essere entrambi i coefficienti angolari uguali, li uguagliamo. Tuttavia per determinare alfa e beta mi serve 1 altra condizione. Quale potrei usare??
aleio1
aleio1 - Mito - 18949 Punti
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Qual è l'argomento del logaritmo della prima funzione?
BIT5
BIT5 - Mito - 28446 Punti
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Dal momento che viene log3 per x=-1 immagino sia

[math] \log (2x+5) [/math]
.
.
aleio1
aleio1 - Mito - 18949 Punti
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Nel secondo esercizio quello è un
[math]y=-2sqrt{x}[/math]
vero?
Aggiunto 1 minuti più tardi:

Per Bit: lo penso anche io ma può essersi imbrogliata..se solo uno scrivesse come si deve..
BIT5
BIT5 - Mito - 28446 Punti
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[math] \lim_{h \to 0} \frac{ \log(3+2h) - \log3}{h} [/math]

Applichiamo al numeratore la proprieta' del logaritmo

[math] \log a - \log b = \log \frac{a}{b} [/math]

e otteniamo

[math] \lim_{h \to 0} \frac{ \log \frac{3+2h}{3}}{h} [/math]

dal momento che
[math] \frac{3+2h}{3}= 1+ \frac{2h}{3} [/math]

riscriviamo

[math] \lim_{h \to 0} \frac{ \log(1+ \frac{2h}{3})}{h} [/math]

Qui dobbiamo ricordare il limite notevole:

[math] \lim_{x \to 0} \frac{ \log(1+x)}{x} = 1 [/math]

Pertanto moltiplicando e dividendo la frazione per 2/3 avremo

[math] \lim_{h \to 0} \frac23 \frac{ \log(1+ \frac{2h}{3})}{ \frac{2h}{3}} [/math]

Porto fuori dal segno di limite la frazione 2/3 e avro'

[math] \frac23 \lim_{h \to 0} \frac{ \log(1+ \frac{2h}{2})}{ \frac{2h}{3}} [/math]

Dal momento che per
[math] h \to 0 [/math]
avro' che
[math] \frac{2h}{3} \to 0 [/math]
ho la ripresentazione del limite notevole che varra' 1
Pertanto il risultato e'
[math] \frac23 [/math]

.
BlackAngel
BlackAngel - Genius - 2009 Punti
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Grazie mille per l'aiuto!! Invece per il secondo avete qualche suggerimento da propormi, per favore??
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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Sbagli l'equazione delle retta tangente: se cerchi la retta tangente alla curva
[math]y=f(x)[/math]
nel punto
[math]P(x_0,y_0)[/math]
essa è
[math]y-y_0=f'(x_0)\cdot (x-x_0)[/math]

Ora riprova a farlo seguendo questa formula.
BlackAngel
BlackAngel - Genius - 2009 Punti
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Ho provato a svolgere nel modo che mi hai suggerito:
Per prima cosa ho calcolato le derivate di entrambe le funzioni e ho ricavato:
[math]y^1=\frac{-1}{x^2}[/math]
e
[math]y^1=\frac{-1}{\sqrt{x}}[/math]
.
Vado a sostituire
[math]x_{0}[/math]
per ricavarmi il coefficiente angolare m:
[math]y^1(x_{0})=\frac{-1}{x_{0}^2}[/math]
e
[math]y^1(x_{0})=\frac{-1}{sqrt{x_{0}}[/math]
.
Uguagliandoli otteniamo:
[math]\frac{-1}{x_{0}^2}=\frac{-1}{sqrt{x_{0}}[/math]
. Quindi
[math]x_{0}=\sqrt[4]{x_{0}[/math]

Ora come posso fare a determinarmi
[math]x_{0}[/math]
??
aleio1
aleio1 - Mito - 18949 Punti
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nella penultima equazione eleva al quadrato ambo i membri..dopodichè moltiplica a destra e a sinistra per x_0 e hai risolto..

Aggiunto 27 minuti più tardi:

comunque ritengo che le 2 curve non abbiano una tangente in comune. Il fascio di rette candidato a contenere la tangente comune è
[math]y=-x+q[/math]
ma imponendo la condizione di tangenza ad ambo le curve si trovano valori di q diversi il che significa che il fascio improprio contenente tutte le rette con quel dato coefficiente angolare è tangente alla prima curva per particolari valori di q (in particolare q=-2, q=2) ed alla seconda per q=-1. Di conseguenza le tangenti alle curve saranno parallele ma mai coincidenti.
BlackAngel
BlackAngel - Genius - 2009 Punti
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si ma mi ritrovo con
[math]x^_{0}=\sqrt[4]x_{0}[/math]
... Non ci stò capendo niente :beatin
.

Questa risposta è stata cambiata da BIT5 (08-02-10 13:12, 6 anni 10 mesi 3 giorni )
BIT5
BIT5 - Mito - 28446 Punti
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supposti corretti i calcoli avrai

Posto
[math] x > 0 [/math]

[math] x_0^4=x_0 \to x^4-x=0 \to x(x^3-1)=0 \to x=0 \ \ e \ \ x=1 [/math]

[math] x=0 [/math]
non e' accettabile perche' proviene da un denominatore
Che poi riguardando l'esercizio non capisco come tu sia finito ad una radice quarta..

Avevi
[math] x^2= \sqrt{x} \to x^4=x \to x(x^3-1)=0 [/math]

Che e' analogo, ma la radice quarta proprio non la capisco.. :D
BlackAngel
BlackAngel - Genius - 2009 Punti
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Ho elevato tutto al quadrato essendoci già una radice e mi trovavo:
[math]x^4_{0}=x_{0} e x=\sqrt[4]{x_{0}}[/math]

Che errore stupido!! :beatin
BIT5
BIT5 - Mito - 28446 Punti
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Se continui a darti tutte queste botte in teste, rischi di peggiorare la situazione pero'!!! :D:D:D:D:D:D:D
BlackAngel
BlackAngel - Genius - 2009 Punti
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Forse potrà anche farmi l'effetto contrario.. chissà... :zomp

Comunque ora mi trovo con
[math]P(1;y_{0})[/math]
e poi ho trovato il coefficiente angolare della retta tangente sostituendo xo nelle due derivate: esso è proprio uguale a
[math]m=-1[/math]
.
Inoltre ho sostituito tutti i dati nell'equazione della retta tangente:
[math]y-y_{0}=-1(x-1)[/math]
.
Ora però rimane
[math]y_{0}[/math]
da determinare e se lo sostituisco nelle rette
[math]y=\frac{-1}{x}[/math]
[math]e y=-2\sqrt{x}[/math]
Mi ritrovo con due valori
[math]y_{0}=1[/math]
[math]y_{0}=-2[/math]
. Quale devo escludere??
aleio1
aleio1 - Mito - 18949 Punti
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black angel capiscimi!
Le rette aventi quel coefficiente angolare possono essere tangenti alla prima e/o all seconda curva.

Ma NON ce n'è nessun che sia contemporaneamente sia alla prima curva che alla seconda.

Rileggi il mio post.

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