Latios89
Latios89 - Erectus - 64 Punti
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Prima di tutto, ciao a tutti sono nuovo!
Vi lancio davvero una sfida: qualcuno sa svolgere questi problemi?

Data la funzione y= x - 2 / x+a con a appartenente a R, determinare a in modo che il suo grafico passi per P(1;1/2). Per tale valore di a determinare dominio e codominio della funzione.

Data la funzione f(x) = 1/2 - a/(x-2), con a appartenente a R, determinare a in modo che il suo grafico passi per l'origine degli assi cartesiani. Successivamente determinare dominio e codominio della funzione e l'espressione analitica della funzione inversa, dopo averne dimostrata l'esistenza.

Grazie mille se ci riuscite, ma sono davvero impossibili secondo me. Ve ne sarei grato se qualcuno li svolgesse.
plum
plum - Mito - 23902 Punti
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per il primo ti basta sostituire:

[math]\frac{1}{2}=1-\frac{2}{1}+a\;--->\;a=\frac{3}{2}[/math]

moltiplica l'equazione per x (se x=0, impossibile):

[math]xy=x^2-2+\frac{3}{2}x\;--->\;x^2-xy+\frac{3}{2}x-2=0[/math]

visto che c-4ab=-1-4*1*0<0 la conica è un ellisse; purtroppo non ho fatto ste cose!:( non saprei come andare avanti!
anche per il secondo si deve sostituire

[math]0=\frac{1}{2}-\frac{a}{0-2}\;--->\;a=-1[/math]

moltiplichi per x-2 (se x=2, impossibile):

[math]xy-2y=\frac{1}{2}x-1+1\;--->\;xy-\frac{1}{2}x-2y=0[/math]

visto che c-4ab=1-4*0*0>0 la conica è un iperbole
ma purtroppo nonso fare nemmeno questa!
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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Plum, guarda che stai sbagliando.

Ok, i valori di a trovati sono giusti, ma poi il procedimento cambia.

Allora, iniziamo dalla prima funzione: il valore di a è 3/2, quindi la funzione è
[math]y=x-\frac{2}{x}+\frac{3}{2}=\frac{2x^2+3x-2}{x}[/math]
Il dominio di questa funzione è
[math]\mathbb{R}\setminus\{0\}[/math]
. Per il suo codominio bisogna procedere così: quando la x dienta sempre maggiore in modulo, il termine 3/2 e il termine 2/x tendono a non avere più rilevanza, per cui la funzione per x grande si comporta come la retta y=x.
Quando invece la x si avvicina a 0, allora il termine x è ininfluente mentre il termine 2/x diviene sempre più grande e di nuvo la funzione tende ad assumere il valore y=-2/x. Ne segue che per x>0 la funzione assume tutti i valori reali e stessa cosa accade quando x<0. Il codominio è quindi tutto
[math]\mathbb{R}[/math]
.


Per il secondo caso abbiamo la funzione
[math]y=\frac{1}{2}+\frac{1}{x-2}=\frac{x-1}{2(x-2)}[/math]

Il dominio di questa funzione è
[math]\mathbb{R}\setminus\{2\}[/math]
.
Osserviamo ora che la funzione
[math]1/2+1/(x-2)[/math]
assume tutti i valori reali solo una volta: ciò vuol dire che la funzione è iniettiva e suriettiva, quindi biettiva.
Infatti se
[math]x\neq z\Rightarrow x-2\neq z-2[/math]
e quindi la funzione assume valori diversi. Inoltre, per qualsiasi numero b reale abbiamo che
[math]b=\frac{x-1}{2(x-2)}\Leftrightarrow 2bx-4b=x-1\Leftrightarrow x=\frac{4b-1}{2b-1}[/math]
e quindi l'unico valore che tale funzione non assume è
[math]b=1/2[/math]
che non appartiene al codominio della funzione. Dai conti fatti prima, ricaviamo allora che la funzione inversa è
[math]x=\frac{4y-1}{2y-1}[/math]
il suo dominio è
[math]\mathbb{R}\setminus\{1/2\}[/math]
e il codominio è
[math]\mathbb{R}\setminus\{2\}[/math]
.
Ecco fatto!

Questa risposta è stata cambiata da ciampax (19-10-07 20:18, 9 anni 1 mese 23 giorni )
plum
plum - Mito - 23902 Punti
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"visto che c-4ab=-1-4*1*0<0 la conica è un ellisse"
questo almeno è giusto?
perchè se è così, non sarebbe neanche una funzione!
o forse, sto facendo semplicemente molta confusione!
xico87
xico87 - Mito - 28236 Punti
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nn capisco il senso di quello che hai fatto: il testo dà esplicitamente una funzione.. e resta una funzione anche dopo che moltiplichi per x da ambo le parti (anche se nn vedo il motivo per cui farlo visto che si chiede dominio e codominio). l'equazione dell'ellisse nn me la ricordo, certo è che devi aver fatto confusione visto che si tratta di una funzione.. ti può indirizzare il fatto che y sia di primo grado..
plum
plum - Mito - 23902 Punti
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plum : o forse, sto facendo semplicemente molta confusione!
direi che è proprio così!:lol
Latios89
Latios89 - Erectus - 64 Punti
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Ciao ragazzi, siccome domani ho una interrogazione sicura di Matematica per me, mi fareste davvero un grande favore se sapreste risolvere questi due esercizi Quando metto queste sbarre
( | ) vuol dire che è una parentesi graffa (quella dei sistemi).

Data la funzione di espressione analitica f(x) =
| 1 + x^2 (con x>0)
| 2 - 2x^2 (con x<0)
determinare il suo dominio e le controimmagini di y = 1,5. Si tratta di una funzione pari?



Data la funzione di espressione analitica f(x) =

| x + 1/x (con x>0)
| x + 1 (con x minore uguale a -1)

determinare il dominio e le controimmagini di 2, -3, 0.

Grazie mille, sareste molto gentili!
xico87
xico87 - Mito - 28236 Punti
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1) dominio: R, tranne x=0.. in altri termini (-inf, 0) U (0, +inf) (basta che ti chiedi per quali valori nn esiste nell'intervallo che ti danno, e poi li escludi dal dominio. in questo caso la funzione è definita per ogni x appartenente a I)

controimmagini: basta sostituire ad y prima 1 e poi 5; nel primo caso
1 = 1 + x^2 se x>0 --> x^2 = 0 --> x=0 impossibile (perchè nn è soddisfatto x>0)
1 = 2 - 2x^2 se x<0 --> -2x^2 = -1 --> x = + - (1/rad2).. la condizione era x<0, quindi x = -1/rad2

ora sostituisci il 5 e vedi un po'..

funzione pari significa f(x) = f(-x) (simmetria rispetto all'asse y) ..evidentemente nn è pari dal momento che se x>0 hai la funzione y = 1 + x^2, se x<0 y = 2 - 2x^2

2) dominio (-inf, -1] U (0, +inf)
per le controimmagini è cme sopra
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