g.PUCE
g.PUCE - Habilis - 271 Punti
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Salve a tutti. Potreste aiutarmi a svolgere questi esercizi? Ho provato a farli, e credo di sapere come iniziare, ma arrivata ad un certo punto, non riesco ad andare avanti.

[math]3^{\sqrt{3+x-2x^{2}}}<3^{2-x}[/math]

[math]4^{2-x}-5(2^{1-x})+1=0[/math]

[math]
\left\{ \begin{array}{c}
2^{2x}+3^{2y}=-1\\
4(2^{x})+3(3^{y})=25
\end{array} \right.

[/math]

Ho messo le parentesi negli ultimi due esercizi perchè non trovavo la x per il "per" nella tabella dei simboli.
Allora, nel primo esercizio ho messo a sistema ciò che è sotto la radice maggiore e uguale a 0, l'esponente del secondo membro maggiore di zero, e ho elevato gli esponenti dei due membri alla seconda, nello stesso sistema. Ma non mi torna quando risolvo la prima e la terza disequazione.
Il secondo esercizio non so proprio come farlo.
Il terzo, idem. Anzi, so come andrebbe fatto, ma in questo caso non so proprio il procedimento a causa di quelle moltiplicazioni.

Ne avrei bisogno entro stasera, almeno per sapere come comportarmi davanti a questi tipi di esercizi. Grazie mille in anticipo! :)

Aggiunto 22 ore 32 minuti più tardi:

Si, grazie. Ora ho capito :)
Abbiamo fatto stamani il compito, e non è che sia andato abbastanza bene. Ma ho tempo di recuperare; quindi, passiamo al secondo :)

Aggiunto 23 ore 17 minuti più tardi:

Perfetto :) Ci sono!

Questa risposta è stata cambiata da The Mascheroni CAD Team (03-02-13 20:58, 3 anni 10 mesi 8 giorni )
BIT5
BIT5 - Mito - 28446 Punti
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Non sparire che ti rispondo ;)

Aggiunto 15 minuti più tardi:

La prima:

il metodo e' corretto...

Vediamo i calcoli:

[math]3+x-2x^2 \ge 0 \to 2x^2-x-3 \le 0 [/math]

[math] x= \frac{1 \pm \sqrt{1+24}}{4} \to x= \frac{1 \pm 5}{4} [/math]

E quindi

[math] x_1= \frac32 \\ \\ x_2=-1 [/math]

soluzione della disequazione:

[math] -1 \le x \le \frac32 [/math]

Seconda disequazione:

[math] 2-x>0 \to x<2 [/math]

Terza disequazione

[math] 3+x-2x^2<(2-x)^2 \to 3+x-2x^2<4-4x+x^2 \to 3x^2-5x+1>0 [/math]

[math] x_{1,2}= \frac{5 \pm \sqrt{25-12}}{6} [/math]

E quindi

[math] x< \frac{5- \sqrt{13}}{6} \cup x> \frac{5+ \sqrt{13}}{6} [/math]

I due valori sono positivi entrambi, ed entrambi minori di 3/2

pertanto facendo il grafico, avrai i valori in quest'ordine:

-1 , 5-radice13.....,5+radice13......, 3/2,.......2

E pertanto la soluzione finale (ovvero dove coesistono tutte e tre le linee) sara'

[math] -1 \le x < \frac{5-\sqrt{13}}{6} \cup \frac{5+\sqrt{13}}{6}<x \le \frac32 [/math]

Ci sei?

Passo al secondo?

Aggiunto 19 ore 10 minuti più tardi:

La seconda..

applichiamo le proprieta' delle potenze

[math] 4^{(2-x)}= \frac{4^2}{4^{x}}= \frac{16}{2^{2x}} \\ \\ 2^{(1-x)}= \frac{2}{2^{x}}[/math]

L'equazione diverra':

[math] \frac{16}{2^{2x}}-5 \( \frac{2}{2^{x}} \)+1=0 [/math]

E quindi

[math] \frac{16}{2^{2x}}- \frac{10}{2^{x}} \)+1=0 [/math]

Da cui

[math] t=2^x[/math]

Quindi

[math] \frac{16}{t^2}- \frac{10}{t}+1 \to \frac{16-10t+t^2}{t^2} [/math]

Posto
[math] t^2 \ne 0 \to t \ne 0 \to 2^x \ne 0 , \forall x \in \mathbb{R} [/math]

Avrai

[math] 16-10t+t^2=0 \to t_1=2 \ \ \ \ t_2=8 [/math]

E quindi

[math] 2^x=2 \to 2^x=2^1 \to x=1 \\ \\ \\ 2^x=8 \to 2^x=2^3 \to x=3 [/math]

Ok?

Aggiunto 23 ore 38 minuti più tardi:

La terza la risolvi grazie ad una semplice sostituzione:

[math] \{(2^{x})^2+(3^{x})^2=-1 \\ 4(2^{x})+3(3^{y})=25 [/math]

Posto

[math] X=2^x \\ Y=2^y [/math]

Avrai

[math] \{X^2+Y^2=-1 \\ 4X+3Y=25 [/math]

Sei sicura del testo pero'?

Perche' la prima equazione (somma di quadrati) non dara' mai -1..
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