pikkola91
pikkola91 - Sapiens - 384 Punti
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Per quale valore di a appartenente a R

lim (-3x^2 + a^2x + 2a) / (x^2 - 1)

x che tende a 1

si presenta nella forma indeterminata 0/0 e vale - 5/2?

Chi mi spiega il procedimento e come posso svolgere questo es? Grazieeeee
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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Bé, semplice: per avere la forma indeterminata 0/0 basta che trovi il valore di a per cui, se sostituisci x=1 al numeratore ottieni zero. In pratica

[math]-3+a^2+2a=0\ \qquad\ a^2+2a-3=0[/math]

le cui soluzioni sono
[math]a=1,\ a=-3[/math]
.
Per l'altro caso, puoi scrivere la frazione così

[math]\frac{-3x^2+a^2 x+2a}{x^2-1}=\frac{-3x^2+a^2 x+2a}{(x-1)(x+1)}[/math]

Ora, dal momento che non vuoi una forma indeterminata, quello che devi ottenere è decomporre il numeratore in modo che appaia il fattore
[math](x-1)[/math]
che così puoi semplificare con quello a denominatore. Dal calcolo di prima sai che per
[math]a=1,\ a=-3[/math]
il polinomio a numeratore risulta divisibile per
[math]x-1[/math]
. Ma allora
[math]a=1,\qquad -3x^2+x+2=(x-1)(-3x-2)[/math]
[math]a=-3,\qquad -3x^2+9x-6=(x-1)(-3x+6)[/math]

e al limite si ha per le frazioni

[math]a=1,\qquad \frac{(x-1)(-3x-2)}{(x-1)(x+1)}\rightarrow\frac{-3x-2}{x+1}\rightarrow-\frac{5}{2}[/math]

[math]a=-3,\qquad \frac{(x-1)(-3x+6)}{(x-1)(x+1)}\rightarrow\frac{-3x+6}{x+1}\rightarrow\frac{3}{2}[/math]
.
Ne segue che il valore cercato è
[math]a=1[/math]
.
pikkola91
pikkola91 - Sapiens - 384 Punti
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Grazie nel frattempo ero riuscita a risolvero ma ora ho incontrato difficoltà in questo

per quali valori di k e h si ha

lim - 3x^ (2k - 1) - 4x + 8 / 2x^(h + 1) - 3 = - oo
x --> - oo

calcolo il limite e vedo che la forma indeterminata oo/oo e per calcolare h e k?
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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Allora, quando hai un limite del tipo

[math]\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{ax^n+\ldots}{bx^m+\ldots}[/math]

questo si riduce al limite

[math]\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{ax^n}{bx^m}=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{a}{b} x^{n-m}[/math]
.
Ora, se
[math]n-m>0[/math]
tale limite va ad infinito. Il tuo limite diventa
[math]\lim_{x\rightarrow-\infty} -\frac{3}{2}\cdot x^{2k-1-h-1}[/math]

e visto che vuoi venga
[math]-\infty[/math]
dovrà essere
[math]\lim_{x\rightarrow-\infty} x^{2k-1-h-1}=+\infty[/math]

Questo vuol dire che, non solo
[math]2k-1-h-1>0[/math]
ma anche che tale numero deve essere pari (se viene dispari, il limite diventa negativo e quindi il limite finale è positivo!). Allora deve essere
[math]2k-h-2=2n,\qquad n\in\mathbb{N}[/math]

e quindi

[math]h=2k-2n-2=2(k-n-2)[/math]
.
Ecco fatto!
pikkola91
pikkola91 - Sapiens - 384 Punti
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sul libro mi da ke dovrebbe essere un risultato tra

h > 2k - 2

k = 2 h = 1

k =1 h = 0

k = 3/2 h =2

h > 2k - 2
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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Bé, basta che rifletti: abbiamo detto che deve essere

[math]2k-h-2>0[/math]
e
[math]2k-h-2=[/math]
numero pari.
Con quale di quelle scelte ottieni tutte e due le condizioni?
pikkola91
pikkola91 - Sapiens - 384 Punti
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h > 2k - 2 ?
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