Ansiaaaaa
Ansiaaaaa - Habilis - 150 Punti
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Ragazzi potreste aiutarmi a risolvere queste 2 equazioni goniometriche lineari usando le formule senx=2t/1+t^2 e cosx=1-t^2/1+t^2


V3senx+3cosx+3=0

cos5x+sen5x=0

P.S.:''V''=radice.
Grazie in anticipo :)
BIT5
BIT5 - Mito - 28446 Punti
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[math] \frac{2 \sqrt3 t}{1+t^2} + \frac{3-3t^2}{1+t^2}+ \frac{3+3t^2}{1+t^2} = 0 [/math]

(ho saltato un passaggio, ma ho semplicemente moltiplicato il 3 per la trasformazione di cosx in funzione di t, e fatto il minimo comune denominatore per il 3)

da cui, eliminando il denominatore

[math] 2 \sqrt3t+3-3t^2+3+3t^2 = 0 \to 2 \sqrt3 t + 6 = 0 \to t= \frac{3}{\sqrt3} [/math]

da cui razionalizzando

[math] t= \sqrt3 [/math]

Ricordando che t= tan (x/2) avrai

[math] \tan \frac{x}{2} = \tan \( \frac{\pi}{3} + k \pi \) [/math]

e quindi

[math] \frac{x}{2} = \frac{\pi}{3} + k \pi \to x= \frac23 \pi + 2k \pi [/math]

Se e' chiaro vediamo la seconda..
Ansiaaaaa
Ansiaaaaa - Habilis - 150 Punti
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Si scusami ma i risultati della prima equazione sono: x=TT+2kTT v x=4/3TT+2kTT
BIT5
BIT5 - Mito - 28446 Punti
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verifico e ti dico
Ansiaaaaa
Ansiaaaaa - Habilis - 150 Punti
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Si,grazie..poi io avevo t=-V3..nn so se è così!!
BIT5
BIT5 - Mito - 28446 Punti
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ho fatto un errore di segno...

effettivamente viene

[math] \tan \( \frac{x}{2} \) = - \sqrt3 [/math]


[math] \tan \( \frac{x}{2} \) = \tan \( \frac23 \pi + k \pi \) [/math]

e quindi

[math] \frac{x}{2} = \frac23 \pi + k \pi \to x= \frac43 \pi + 2k \pi [/math]

l'utilizzo di tan x/2, pero', ricordiamoci che esclude sempre una soluzione (due, se consideriamo il periodo di seno e coseno)

infatti dal momento che trasformiamo tutto in funzione di tan (x/2) non consideriamo le soluzioni in cui l'argomento e' TT/2 +kTT (ovvero 90 e 270 gradi) poiche' la tangente, per quei due valori, non ammette soluzioni.

Pertanto ogni volta che utilizziamo la trasformazione di seno e coseno in funzione di tan(x/2) dobbiamo controllare se i valori esclusi (ma che non dovrebbero essere esclusi) possono essere soluzione.

[math] \frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} + k \pi \to x= \pi + 2 k \pi [/math]

per questo valore, dovrai fare la sostituzione all'equazione a verificare se la risolve o meno.

sostituendo otterrai

[math] \sqrt3 \sin \pi + 3 \cos \pi + 3 = 0 \to 0-3+3=0 \to 0=0 [/math]

l'equazione e' verificata

Pertanto anche
[math] x= \pi + 2k \pi [/math]
e' soluzione dell'equazione
Ansiaaaaa
Ansiaaaaa - Habilis - 150 Punti
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Si,grazie...ho capito :) Per la seconda invece?
BIT5
BIT5 - Mito - 28446 Punti
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Poni t=tan(5x/2)

avrai

[math] \frac{2t}{1+t^2}+ \frac{1-t^2}{1+t^2} =0 [/math]

quindi 2t+1-t^2=0 ovvero t^2-2t-1=0 quindi

[math] t= \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{2 \pm 2 \sqrt2}{2} = 1 \pm \sqrt2 [/math]

E quindi
[math] \tan \( \frac{5x}{2} \) = 1 \pm \sqrt2 [/math]

da cui
[math] \frac{5x}{2} = arctan \(1 \pm \sqrt2 \) + k \pi [/math]

e quindi

[math] x= \frac25 arctan \(1 \pm \sqrt2 \) + \frac25 k \pi [/math]

spero di non aver fatto errori di calcolo :)

Aggiunto 1 minuto più tardi:

anche qui passando per t dovrai verificare se quando l'argomento e' TT/2 (quindi x=TT/5) l'equazione e' verificata

In questo caso non lo e', in quanto viene 0+1=0
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