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Risolvere le seguenti equazioni:
1)cos 5x sen3x=cos 6x sen2x


2)sen(x-10°)+2 cos(x+80°)-cos(x+170°)=0



3)determinare il valore del parametro a per il quale l'equazione a
________ _ 4 sen ^2x=1
cos^2 x

ammette la soluzione x=60° ,risolvere poi l'equazione così ottenuta.
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La prima equazione la risolvi applicando le formule di Werner:

[math]\ cos \alpha sen \beta = \frac{sen (\alpha + \beta) - sen ( \alpha - \beta)}{2} [/math]

Alla fine ti rimarrà sen(2x)=sen(4x).

Cioè sen(4x)-sen(2x)=0

Attraverso le formule di duplicazione, sai che sen(4x)=2sen(2x)cos(2x)

Pertanto avremo

2sen(2x)cos(2x) - sen(2x)=0

raccogliamo sen(2x)

sen(2x)(2cos(2x)-1)=0

Per la legge dell'annullamento del prodotto, affinchè l'equazione sia verificate, uno dei due fattori dovrà essere=0

Quindi: sen(2x)=0 ==> 2x=0+2k180 ==> x = 0+k180

2cos(2x) -1=0
2cos(2x)=1
cos(2x)= 1/2
2x=60 + 2k180
x=30 + k180

Le soluzioni pertanto saranno:

x=k180 U x=30+k180
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dunque

1/2 [sen (3x+5x)+sen (3x-5x)]=1/2[sen (2x+6x)+sen(2x-6x)]

1/2 [sen 8x-sen2x]=1/2[sen 8x-sen 4x]

1/2[sen 6x]=1/2 [sen4x]

sen 3x= sen 2x

giusto ?!?


quindi
sen 3x= k120°
sen 2x= k180°
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Fai attenzione... sen(8x)-sen(2x) NON E' UGUALE a sen(6x)!

Non puoi sottrarre gli argomenti di due funzioni seno diverse.

Devi trattare il seno come fosse un monomio.

Quindi se hai sen(8x) puoi solo aggiungerlo o sottrarlo ad altri sen(8x)
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1/2 [sen (3x+5x)+sen (3x-5x)]=1/2[sen (2x+6x)+sen(2x-6x)]

1/2 [sen 8x-sen2x]=1/2[sen 8x-sen 4x]

[sen 4x-sen x]=[sen4x- sen 2x]

sen4x-senx =sen4x-sen2x

sen4x+sen4x=senx+sen2x

:no mi sono persa....
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Non puoi dividere sen(8x) tutto fratto due non è uguale a sen(8x/2)!.. L'unica cosa che puoi fare è semplificare da ambo le parti 1/2 e sommare i monomi simili (ovvero i seni con uguale argomento)

Una volta semplificato 1/2 che è fattore da entrambe le parti, semplificherai sen(8x) che ti si propone sia a destra che asinistra, e ti rimarrà

sen(2x)=sen(4x)

Come andare avanti, ce l'hai nel mio primo post di risposta
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ok ho capito senti ho una domanda

alcune volte mi capita di vedere che

cos= + o - beta +k360°

altre volte cos=+ beta +k360° e cos=180°-beta+k360°

ora quale è la differenza?!?Quando devo usarli?
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Non è molto chiara la tua domanda..
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dunque allora in alcuni esercizi mi è capitato di avere le soluzioni ma non combaciavano con le mie .
un esempio di quello che cercavo di dirti è :
la mia soluzione => -30°<x<30°

sul libro di testo (alle volte da) => 30°<x<150°

Altre volte invece
ad esempio:
|sen x|>1/2

allora io la risolvo con
sen x> 30°

sapendo che sen alfa=beta+k360° V sen alfa=180°-beta+k360°

scrivo
30°<x<150°

però mi da anche la soluzione 210°<x<330°

come faccio a capire quando metterle tutte e due o solo una?!?
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Allora, l'esempio del valore assoluto l'ho capito e provo a spiegartelo.

Dal momento che hai un valore assoluto, appunto, la soluzione come l'hai scritta tu è incompleta.

Ti faccio un esempio..

|x + 1|>1

Se x+1>0 (x>1), il valore assoluto non opera (perchè l'argomento è già positivo..)

x+1>1 ==> x>0

Ma noi stavamo studiando solo per x>1. Quindi la soluzione di questo pezzo è x>1 (perchè è più restrittivo ovvero è la soluzione del sistema)

A questa soluzione dobbiamo però aggiungere quello che ci darà il secondo caso:

per x+1<0 (x<-1) il valore assoluto opera (ovvero cambia il segno dell'argomento) e pertanto avremo -x-1>1 ==> -x>2 ==> x<-2

Stavamo valutando il caso in cui x<-1 abbiamo trovato x<-2 pertanto la soluzione di questo "pezzo" di disequazione sarà x<-2

La soluzione finale sarà x<-2 U x>1

Se la risolvi semplicemente togliendo il valore assoluto (come mi hai scritto tu), perdi delle soluzioni. Infatti il valore assoluto è un operatore non trascurabile.

Pertanto se hai |senx|>1/2 dovrai fare queste considerazioni:

Se senx>0 (ovvero 0 < x < 180) il valore assoluto non opera.
Pertanto devo risolvere senx>1/2 (ovvero 30< x < 150) e mettere a sistema l'intervallo che hai trovato con l'intervallo che stavamo considerando (0<x<180).
Le soluzioni trovate sono interamente contenute nell'intervallo in cui stiamo studiando il caso, quindi la soluzione di questo "pezzo" di disequazione è 30<x<150

Se sen x<0 (ovvero 180<x<360) allora il valore assoluto opera e quindi dovremo risolvere

-senx>1/2 ==> senx<-1/2 ovvero 210<x<330

La soluzione finale sarà l'unione delle due soluzioni parziali trovate, ovvero

30<x<150 U 210<x<330

Ecco perchè ti viene proposto il risultato.. Non è un errore che nasce dall'uso errato del periodo, è proprio un errore di risoluzione.

Se hai bisogno di altro, fammi qualche altro esempio.

Ti posso ancora scrivere che:

se trovi una soluzione del tipo (ad esempio)

x<30 U 330<x<360 e il libro ti propone -30<x<30, hai trovato le stesse soluzioni (prova a segnarti i valori sulla circonferenza goniometrica e vedrai che le due soluzioni di cono la stessa cosa). E' per questo che bisogna SEMPRE indicare il periodo (che se l'argomento è x e 2K180) perchè così si contemplano tutte le soluzioni (anche se tu e il libro le proponete diverse...)
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Grazie...però purtroppo ho ancora bisogno di molto aiuto.


1)sen(x-10°)+2 cos(x+80°)-cos(x+170°)=0



2)determinare il valore del parametro a per il quale l'equazione a
________ _ 4 sen ^2x=1
cos^2 x

ammette la soluzione x=60° ,risolvere poi l'equazione così ottenuta.

3)2Log tg x/2 =Log(1-cos x) -1/2 Log 3 -Log sen x

grazie mille a colui o colei che mi risponderà ....ho mille dubbi e un'unica certezza il compito di mercoledì su queste cose....
BIT5
BIT5 - Mito - 28446 Punti
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Vediamo il primo:

sen(x-10°)+2 cos(x+80°)-cos(x+170°)=0

Applicando le formule di addizione otterremo

senxcos10 - cosxsen10+2(cosxcos80-senxsen80)-(cosxcos170-senxsen170)

cos80=cos(90-10)=sen10
sen80=sen(90-10)=cos10
cos170=cos(180-10)=-cos10
sen170=sen(180-10)=sen10

Pertanto

senxcos10-cosxsen10+2cosxsen10-2senxcos10-(-cosxcos10-senxsen10)=0

senxcos10-cosxsen10+2cosxsen10-2senxcos10+cosxcos10+senxsen10=0

-senxcos10+cosxsen10+cosxcos10+senxsen10=0

Da qui devo ragionarci un po' su, perchè mi sono bloccato! Però ho pensato che magari tu riesci ad andare avanti.. Unica cosa: controlla che l'argomento dell'ultimo coseno sia x+170 (perchè se fosse x-170 sarebbe molto meglio... io comunque continuo a ragionare sul da farsi).
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