AppleRapple
AppleRapple - Erectus - 62 Punti
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Salve voi porre alla vostra attenzione un paio di esercizi tra eq e diseq. esponenziali che nn ho capito bene (premetto che non so scrivere nel linguaggio matematico)
a) 35/2per1/5alla2x >o uguale di 0,7per5allax

b) 2per3alla2x-1 +9allax+1 -3alla2x+1 <60/radice quinta di 3

Grazie mille ed è urgente! (almeno il secondo)
BIT5
BIT5 - Mito - 28446 Punti
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Partiamo dalla seconda allora:

[math] 2 \cdot 3^{2x-1}+9^{x+1}-3^{2x+1} < \frac{60}{\sqrt[5]{3}} [/math]

Ricordiamo che:

[math] a^{m+n}=a^ma^n \\ a^{m-n}= \frac{a^m}{a^n}[/math]

Quindi

[math] \frac{2 \cdot 3^{2x}}{3^1}+9^x9^1-3^{2x}3^1< \frac{60}{\sqrt[5]{3}} [/math]

E ancora ricordiamo che
[math] (a^m)^n=a^{m \cdot n} [/math]
pertanto ad esempio
[math]9^x=(3^2)^x=3^{2x} [/math]

Quindi

[math] \frac23 3^{2x}+9 \cdot 3^{2x}-3 \cdot 3^{2x}< \frac{60}{\sqrt[5]{3}} [/math]

Raccogliamo a sinistra:

[math] 3^{2x} (\frac23+9-3) < \frac{60}{\sqrt[5]{3}} [/math]

e dunque

[math] 3^{2x} ( \frac{2+27-9}{3} < \frac{60}{\sqrt[5]{3}} [/math]

ovvero

[math] 3^{2x} \frac{20}{9} < \frac{60}{\sqrt[5]{3}} [/math]

[math] 3^{2x} < \frac{60}{\sqrt[5]{3}} \cdot \frac{9}{20} [/math]

[math] 3^{2x} < \frac{27}{\sqrt[5]{3}} [/math]

Quando hai una equazione/disequazione esponenziale, devi cercare di avere la stessa base.

Ricorda ancora dunque che:

[math] a= \sqrt[n]{a^n} [/math]

Quindi

[math] 3^{2x}< \frac{\sqrt[5]{(3^3)^5}}{\sqrt[5]{3}} [/math]

E sapendo che

[math] \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}= \sqrt[n]{\frac{a}{b}} [/math]

Avremo

[math] 3^{2x}< \sqrt[5]{\frac{3^{15}}{3}} \to 3^{2x}< \sqrt[5]{3^{14}} [/math]

Infine sapendo che
[math] \sqrt[n]{a^m}= a^{\frac{m}{n}} [/math]

avremo

[math] 3^{2x}<3^{\frac{14}{5}} [/math]

Con la stessa base, possiamo "abbassare" la disequazione agli esponenti, ricordando solo che se la base e' maggiore di 1 (come inquesto caso, 3>1) e' sufficiente risolvere la disequazione tra gli esponenti, altrimenti se la base e' compresa tra 0 e 1, bisogna anche cambiare il verso alla disequazione..)

[math] 2x< \frac{14}{5} \to x< \frac{\no{14}^7}{\no{10}^5} \to x< \frac75 [/math]

Aggiunto 9 minuti più tardi:

La prima invece:

[math] \frac{35}{2} \cdot \( \frac15 \)^{2x} \ge 0,7 \cdot 5^x [/math]

Portiamo tutto a sinistra:

[math] \frac{35}{2 \cdot 5^{2x}} - \frac{7 \cdot 5^x}{10} \ge 0 [/math]

Minimo comune multiplo

[math] \frac{5 \cdot 35 - (5^{2x} \cdot 7 \cdot 5^x)}{10 \cdot 5^{2x}} \ge 0 [/math]

[math] \frac{175-7 \cdot 5^{3x}}{10 \cdot 5^{2x}} \ge 0 [/math]

[math] \frac{7(25-5^{3x})}{10 \cdot 5^{2x}} \ge 0 [/math]

Studiamo numeratore e denominatore.

Il denominatore e' sempre > 0 dal momento che 5 elevato a qualunque esponente sara' positivo.

Numeratore :

[math] 25-5^{3x} \ge 0 \to 5^{3x} \le 5^2 \to 3x \le 2 \to x \le \frac23 [/math]

Pertanto la soluzione sara'

[math] x \le \frac23 [/math]

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