-selena-
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Ciao chi può aiutarmi a comprendere meglio le equazioni di 2°grado parametriche? luned' ho il compito..magari riassumendo tutti i casi possibili ..grazie 1000
ciaoo:hi:hi

per favore lunedì ho il compito in classe
BIT5
BIT5 - Mito - 28446 Punti
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Posta un esercizio ed esponi i dubbi.
Cosi' possiamo vedere insieme i dubbi e cerchiamo di chiarirli.
-selena-
-selena- - Genius - 4987 Punti
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va bene,,, ad esempio calcola il valore di k affinchè nell'equazione x^2+ (3-k)x +5K=0
x1^3+x2^3=0

poi non so..potete aiutarmi a riassumere i casi principali? graziieee
BIT5
BIT5 - Mito - 28446 Punti
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Dunque.

Hai un'equazione di secondo grado nella sua forma standard
[math] ax^2+bx+c=0 [/math]

Dove

[math] a=1 \\ b=3-k \\ c=5k [/math]

Le soluzioni dell'equazione di secondo grado sono:

[math] x_{1,2}= \frac{ -b \pm \sqrt{ \Delta}}{2a} [/math]

Detto questo, quindi, considera quanto segue:

La somma delle due soluzioni di un'equazione di secondo grado, e':

[math] x_1+x_2= \frac{ -b + \sqrt{ \Delta}}{2a} + \frac{ -b - \sqrt{ \Delta}}{2a} [/math]

[math] = \frac{ -b+ \sqrt{ \Delta} -b - \sqrt{ \Delta}}{2a}= \frac{-2b}{2a}= - \frac{b}{a} [/math]

ed il prodotto, con calcoli simili, sara':

[math] x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} [/math]

Considerata questa premessa, nelle equazioni parametriche devi sempre riuscire a portarti le richieste in funzione di somma e prodotto delle soluzioni.

E quindi, se l'esercizio ti chiede:

"affinche' la somma delle soluzioni sia 1", ad esempio, dovrai porre

[math] x_1+x_2=1 \to - \frac{b}{a}=1 [/math]

che nell'esempio da te proposto, sara'

[math] - \frac{3-k}{1}= 1 \to 3-k=-1 \to k=4 [/math]

Fino a qui ci sei?
-selena-
-selena- - Genius - 4987 Punti
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cmq sisi mi è chiaro ma quando è così come si fa?
[math] x_1^3+x_2^3=0[/math]

e così?
[math] \frac{1}{x_1^2}+ \frac{1}{x_2^2}=0 [/math]
procedo così ?
[math]
\frac{x_1^2x_2^2}{x_1^2x_2^2}=0 [/math]

e invece così?
[math] x_1=3x_2[/math]
BIT5
BIT5 - Mito - 28446 Punti
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Allora:

[math] \frac{1}{x_1^2}+ \frac{1}{x_2^2}= \frac{x_2^2+x_1^2}{x_1^2x_2^2} [/math]

Una vola arrivati qui

Il denominatore e'
[math] x_1^2x_2^2=(x_1x_2)^2= ( \frac{c}{a}) ^2 [/math]

il numeratore invece devi renderlo con il metodo del completamento del quadrato

[math] (x_1^2+x_2^2)=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2= (- \frac{b}{a})^2-2 \frac{c}{a} [/math]

(Infatti
[math] (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 [/math]
)
Nel caso della somma dei cubi e' un po' piu' laborioso...

La somma dei cubi e'

[math] x_1^3+x_2^3= (x_1+x_2)(x_1^2-x_1x_2+x_2^2) [/math]

La prima parentesi esprime la somma delle soluzioni, che conosci.

La seconda parentesi, sempre con il metodo di completamento del quadrato, e':

[math] (x_1+x_2)^2-2x_1x_2-x_1x_2= (x_1+x_2)^2-3x_1x_2= (- \frac{b}{a})^2-3 \frac{c}{a} [/math]

e pertanto tutto sara'

[math] x_1^3+x_2^3= (- \frac{b}{a})^2(- \frac{b}{a}^2-3 \frac{c}{a})=0 [/math]

che si annulla quando uno dei due fattori e' 0 e pertanto

[math] - \frac{b}{a}=0 \to b=0 [/math]

[math] (- \frac{b}{a})^2 - 3 \frac{c}{a} =0 [/math]

Nel caso

[math] x_1=3x_2 [/math]

sapendo che le due soluzioni sono

[math] x_1= \frac{-b + \sqrt{ \Delta}}{2a} [/math]

[math] x_2= \frac{-b - \sqrt{ \Delta}}{2a] [/math]

abbiamo

[math] \frac{-b + \sqrt{ \Delta}}{2a}= 3 \frac{ -b- \sqrt{ \Delta}}{2a} [/math]

il denominatore comune va via

[math] -b + \sqrt{ \Delta}= -3b-3 \sqrt{\Delta} [/math]

[math] 2b= -4 \sqrt{ \Delta} \to b=-2 \sqrt{ \Delta} \to b^2=4 \Delta [/math]

sostituisci e risolvi
-selena-
-selena- - Genius - 4987 Punti
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grazie 1000...ora mi chiaro...potrei chiederti un'ultima cosa? ma alla fin fine la regola di cartesio a cosa serve? ho capito la teoria..ma non l'applicazione..grazie
BIT5
BIT5 - Mito - 28446 Punti
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La regola di Cartesio mette in evidenza, nell'insieme dei numeri Reali, i segni delle due soluzioni.

Nel caso delle parametriche, dal momento che ti compare un parametro, non hai possibilita' di evidenziare il segno dei coefficienti e pertanto neanche la possibilita' di stabilire anticipatamente i segni delle soluzioni.
-selena-
-selena- - Genius - 4987 Punti
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grazie 1000 per l'aiuto
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