IlGuista
IlGuista - Eliminato - 1431 Punti
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raga mi risolvete queste quattro equazioni?:

| x^2 - 5x + 4 | = 2

| 3x - 5 | = x + 1

| x^2 + 1 | = x - 2

| x - 1| + | 2x + 3 | = x

grazie in anticipo
aleio1
aleio1 - Mito - 18949 Punti
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[math]|x^2 - 5x + 4| = 2[/math]

Allora, innanzitutto diciamo ke il valore assoluto di un numero sarebbe quel numero considerato senza segno:
[math]|+2| = 2[/math]
[math]|-5| = 5[/math]
[math]|-\frac78| = \frac78[/math]

Un numero senza segno è normalmente considerato positivo, pertanto si dice che la funzione valore assoluto trasforma tutti i numeri in positivi.

Questo diventa semplice quando operiamo con i numeri, ma diventa eggermente più complesso quando si hanno parametri o incognite, come avviene in qst caso.
Poichè le incognite non le conosciamo (altrimenti non si kiamerebbero incognite), non sappiamo ke segno dargli.

[math]|x|[/math]

Dal momento ke non sappiamo se la
[math]x[/math]
sia un numero positivo o negativo, non possiamo procedere normalmente.
Se la x assumesse il valore
[math]x=3[/math]
non ci sarebbero problemi in quanto
[math]|3|=3[/math]
e cioè
[math]|x|=x[/math]

Ma se l'incognita
[math]x[/math]
assumesse invece un valore negativo
[math]x=-4[/math]
avremo che
[math]|-4| = 4[/math]
e cioè
[math]|x| = -x[/math]

Pertanto arriviamo alla conclusione che quando abbiamo un parametro o un'incognita dobbiamo considerare due casi:

- Quello nel quale
[math]f(x)\geq0[/math]
[I termini dentro al valore assoluto, poichè
[math]f(x)\geq0[/math]
manterranno gli stessi segni]
- Quello nel quale
[math]f(x)<0 [/math]
[I termini dentro il valore assoluto, poichè
[math]f(x)<0[/math]
cambieranno di segno]
Detto ciò procediamo a risolvere l'equazione.

[math]|x^2 - 5x + 4| = 2[/math]

Allora...prendiamo in esame il primo caso.

Per
[math]x^2 - 5x + 4\geq0 [/math]
dobbiamo svolgere il sistema:
[math]\left\{\begin{array}{l}
x^2 - 5x + 4\geq 0\\
x^2 - 5x + 4=2
\end{array}\right.[/math]

Ora procediamo alla risoluzione della disequazione:

[math]x^2 - 5x + 4\geq 0\\[/math]

[math]\Delta=25-16=9[/math]

Poichè
[math]\Delta>0[/math]
ed il termine quadratico è concorde al verso delle disequazione e poichè l'equazione associata
[math]x^2 - 5x + 4 = 0[/math]
ha come radici
[math]x_1=1 ; x_2=4[/math]

le soluzioni della disequazione sono
[math]x\leq 1 ; x\geq 4[/math]

L'equazione invece sarà:

[math]x^2 - 5x + 2 = 0[/math]

[math]\Delta=25-8=17[/math]

[math]x_{1/2}=\frac{5\pm sqrt17}{2}[/math]

Prendiamo ora in esame il secondo caso.

Per
[math]x^2 - 5x + 4 < 0 [/math]
dobbiamo svolgere il sistema:
[math]\left\{\begin{array}{l}
x^2 - 5x + 4<0\\
x^2 - 5x + 6=0
\end{array}\right.[/math]

Ora procediamo alla risoluzione della disequazione:

[math]x^2 - 5x + 4 < 0\\[/math]

[math]\Delta=25-16=9[/math]

Poichè
[math]\Delta>0[/math]
ed il termine quadratico è discorde al verso delle disequazione e poichè l'equazione associata
[math]x^2 - 5x + 4 = 0[/math]
ha come radici
[math]x_1=1 ; x_2=4[/math]

le soluzioni della disequazione sono
[math]1<x<4[/math]

L'equazione invece sarà:

[math]x^2 - 5x + 6 = 0[/math]

[math]\Delta=25-24 = 1[/math]

[math]x_{1/2}=\frac{5\pm 1}{2}[/math]

[math]x_1=2 ; x_2=3[/math]


Otteniamo così quattro soluzioni, due per ogni caso considerato.

Spero k tu abbia kapito e spero di nn essere stato trp lungo......

Questa risposta è stata cambiata da Pillaus (30-03-07 02:15, 9 anni 8 mesi 14 giorni )
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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Aleio, perdonami, ma quello che hai detto non è corretto, soprattutto per quanto riguarda la soluzione!

Allora, in generale, quando si ha a che fare con una equazione del tipo

[math]|f(x)|=g(x)[/math]

la soluzione si trova risolvendo i due sistemi

[math]\left\{\begin{array}{l}
f(x)\geq 0\\
f(x)=g(x)
\end{array}\right.[/math]

e

[math]\left\{\begin{array}{l}
f(x)< 0\\
-f(x)=g(x)
\end{array}\right.[/math]


Detto questo, possiamo risolvere le equazioni date.

Equazione 1)

[math]\left\{\begin{array}{l}
x^2-5x+4\geq 0\\
x^2-5x+2=0
\end{array}\right.[/math]

Per la disequazione, essendo le radici

[math]x_{1/2}=\frac{5\pm\sqrt{25-16}}{2}=\frac{5\pm 3}{2}\Rightarrow x_1=1,x_2=4[/math]

la soluzione è
[math]x\leq 1, x\geq 4[/math]
. L'equazione invece ha come radici
[math]x_{1/2}=\frac{5\pm\sqrt{25-8}}{2}=\frac{5\pm\sqrt{17}}{2}[/math]
cioè
[math]x_1\equiv -0,4, x_2\equiv 4,5[/math]
. Entrambe le radici appartengono all'intervallo dato dalla disequazione e sono quindi accettabili.
L'altro sistema è

[math]\left\{\begin{array}{l}
x^2-5x+4<0\\
x^2-5x+6=0
\end{array}\right.[/math]

Per la disequazione si ha la soluzione
[math]1<x<4[/math]
, mentre le radici dell'equazione sono
[math]x_{1/2}=\frac{5\pm\sqrt{25-24}}{2}=\frac{5\pm 1}{2}\Rightarrow x_1=2, x_2=3[/math]

le quali appartengono ancora all'intervallo dato dalla disequazione e quindi sono accettabili.


Equazione 2)

In questo caso i sistemi sono

[math]\left\{\begin{array}{l}
3x-5\geq0\\
3x-5=x+1
\end{array}\right.[/math]

e

[math]\left\{\begin{array}{l}
3x-5<0\\
-3x+5=x+1
\end{array}\right.[/math]

La disequazione del primo sistema è
[math]x>5/3[/math]
mentre per l'equazione
[math]2x=6\Rightarrow x=3[/math]
che risulta accettabile.
Per la disequazione del secondo sistema
[math]x<5/3[/math]
e per l'equazione
[math]-4x=-4\Rightarrow x=1[/math]
che è anch'essa accettabile.

Le altre due equazioni te le risolvo + tardi, anche perché la 4 è un po' particolare e va discussa per bene!

Questa risposta è stata cambiata da ciampax (29-03-07 16:53, 9 anni 8 mesi 15 giorni )
aleio1
aleio1 - Mito - 18949 Punti
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Ciampax...kiedo venia...ho corretto sopra...nn so a k pensavo qnd ho fatto l'esercizio...solo k oggi sn stankissimo k ieri sn andato a bari a vedè la nazionale...sn tornato a casa a Cosenza alle 2 di notte e stamattina pure a skuola...:D skusa ankora e grazie x avermi avvisato:)
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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Di niente! Faccio solo il mio lavoro!

lo so che sei bravo, anzi! Mi fa piacere vedere che ti piaccia tanto la matematica!

Ci si sente!
IlGuista
IlGuista - Eliminato - 1431 Punti
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ok grazie aspetto con veemenza le altre due equazioni :lol:
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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Equazione 3)

Poiché
[math]x^2+1>0[/math]
l'unica possibilità è risolvere l'equazione
[math]x^2+1=x-2[/math]

cioè

[math]x^2-x+3=0[/math]

le cui soluzioni sono

[math]x_{1/2}=\frac{1\pm\sqrt{1-12}}{2}=\frac{1\pm\sqrt{-11}}{2}[/math]

e cioè nessuna radice reale, poiché il discriminante è negativo.



Equazione 4)

Qua bisogna ragionare un po'. Stavolta l'equazione contine 2 valori assoluti, ognuno dei quali può essere positivo o negativo, il che vuol dire che bisogna studiare 4 casi:

1) entrambi positivi, 2) entrambi negativi, 3) il primo positivo e il secondo negativo, 4) il primo negativo e il secondo negativo.

Vediamo di analizzare prima quali sono gli intervalli in cui cercare le soluzioni e poi risolviamo le equazioni.

1) dobbiamo avere

[math]x-1\geq 0\textrm{ e } 2x+3\geq 0[/math]

cioè

[math]x\geq 1\textrm{ e } x\geq -3/2[/math]

quindi deve essere
[math]x\geq 1[/math]
(mettendo a sistema le precedenti).

2) in questo caso, essendo

[math]x< 1\textrm{ e } x< -3/2[/math]

abbiamo
[math]x<-3/2[/math]
.

3) in questo caso

[math]x\geq 1\textrm{ e } x<-3/2[/math]

da cui ricaviamo che tale caso non si presenta, in quanto le due soluzioni non si intersecano.


4) in questo caso

[math]x< 1\textrm{ e } x\geq -3/2[/math]

e quindi
[math]-3/2\geq x<1[/math]
.

Risolviamo ora le equazioni.

1)
[math]x-1+2x+3=x\Rightarrow 2x=-2\Rightarrow x=-1[/math]
che non appartiene all'intervallo dato e quindi non è una soluzione accettabile.
2)
[math]-x+1-2x-3=x\Rightarrow -4x=2\Rightarrow x=-1/2[/math]
che di nuovo non appartiene all'intervallo dato e quindi non è una soluzione accettabile.
3) In questo caso, è inutile risolvere l'equazione.

4)
[math]-x+1+2x+3=x\Rightarrow 0x=-4[/math]
che è una equazione impossibile.
Ne deduciamo che l'equazione di partenza non ha soluzioni!
SuperGaara
SuperGaara - Mito - 120308 Punti
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In pratica quando hai due moduli e non uno solo, all'inizio studi il segno dei moduli maggiore di 0 e fai il grafico, così da ottenere i 3 intervalli in cui potrebbero esserci le soluzioni (non ci sono 4 casi come si potrebbe dedurre, perchè uno è sicuramente da scartare)! Una volta individuate le 3 possibili situazioni, svolgi i conti, cambiando di segno e seguendo le condizioni poste. Alla fine dici se accettare o no le eventuali soluzioni!
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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Mi spiace, Gaara, ma quello che dici è falso! :lol

Non ci credi? Te ne dò un esempio: prova a risolvere l'equazione

[math]|x^2-1|+|x|=0[/math]

e dimmi quanti casi ti vengono fuori!

Ci si sente!
SuperGaara
SuperGaara - Mito - 120308 Punti
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Io parlavo di quando, dentro al modulo, ci sono polinomi di primo grado...come in questo ;):

[math]
| x - 1| + | 2x + 3 | = x
[/math]

L'esempio che hai portato tu non l'avevo nemmeno considerato...mea culpa :lol!!!
aleio1
aleio1 - Mito - 18949 Punti
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Ciampax...devo correggerti...il fatto ke vengano quattro intervalli è superfluo se due di questi sono uguali.

Nell'esempio considerato

[math]|x^2-1|+|x| = 0[/math]

considerando il primo valore assoluto si ha:

[math]x^2-1\geq0 ==>x\leq-1[/math]
V
[math]x\geq1[/math]

considerando il secondo si ha:

[math] x\geq0[/math]

Riassumendo i vari casi si ottengono quattro intervalli

[math]\left\{\begin{array}{l}
x\leq-1 <==> f_1(x)<0 ; f_2(x)>0\\

-1\leq x\leq0 <==> f_1(x)<0 ; f_2(x)<0\\

0\leq x\leq1 <==> f_1(x)>0 ; f_2(x) <0\\

x\geq1 <==> f_1(x)>0 ; f_2(x) > 0\end{array}\right.[/math]

Tuttavia i casi sono solo apparentemente 4. Infatti il primo ed il terzo caso rappresentano la stessa "realtà"....provare x credere....
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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Che a posteriori i casi possano rappresentare la stessa cosa, può anche accadere.

Quello che intendevo io è che non puoi, a priori, decidere che sicuramente qualche caso non esiste.

In matematica "si vede" o "si sa" senza che lo si dimostri, non serve ad un cavolo!



E comunque, non ho capito cosa intendi dire con il primo e il terzo caso rappresentano la stessa realtà: gli intervalli sono diversi, no? Che poi venga fuori la stessa equazione o che si abbia la stessa situazione... beh quello non significa "lo stesso" in matematica! :lol


Ricordati sempre: prima di contraddire, pensa a quello che scrivi e dimostralo!


Ah, e un utlima cosa: le frecce dell'implicazione nel sistemone che hai scritto, vanno messe nel verso opposto! La scelta che gli argomenti nei valori assoluti siano positivi o negativi ti permettono di determinare gli intervalli. Se potessi fare direttamente il viceversa... beh, come minimo saresti un calcolatore elettronico. (più precisamente, la freccia andrebbe messa in entrambi i sensi, ma qui, per una questione pratica e di dimostrazione, quella da usare è quella nel senso opposto a quello che hai usato tu!)

Cmq, Aleio, sempre in gamba così, che se non si parla in matematica non si va da nessuna parte!
aleio1
aleio1 - Mito - 18949 Punti
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Devo darti ragione...ti ho contestato prima solo x l'esempio proposto ke non si rifaceva al tuo avvertimento/spiegazione/intimorimento...:D per il resto ho messo le frecce in entrambi i sensi...:D...cmq grande ciampax...
missmercury
missmercury - Sapiens - 670 Punti
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io non commento ... perche non sono capace..eppure li abbiamo fatti anke noi..mah...w il licieo scientifico/sportivo..
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