insule23
insule23 - Sapiens - 508 Punti
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salve avrei bisogno del vostro aiuto...
non sò come iniziare con questo esercizio..
Si risolva nel campo dei numeri complessi l'equazione:
[math]\left ( z^4-\frac{1-i}{1+i} \right )\left ( iz\bar{z}-4+i \right )=0[/math]

se mi potete aiutare ad impostarla...grazie
TeM
TeM - Eliminato - 23454 Punti
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Cerco di darti qualche spunto e poi ci mostri dei passaggi, ok? :) Allora, innanzitutto per via della legge di annullamento del prodotto la soluzione di quell'equazione sarà data semplicemente dall'unione delle soluzioni degli annullamenti dei singoli fattori. Per quanto riguarda il primo conviene innanzitutto razionalizzare il termine noto e poi calcolare le radici quarte di ciò che è uscito dalla razionalizzazione tramite la classica formula. Per quanto riguarda il secondo fattore, invece, conviene porre
[math]z:=a+i\,b[/math]
per
[math]a,\,b\in\mathbb{R}[/math]
. A quel punto esplicita
[math]a,\,b[/math]
e razionalizza. Dunque è sufficiente osservare ciò che è rimasto davanti agli occhi per concludere ;)
insule23
insule23 - Sapiens - 508 Punti
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ho provato a svolgere il secondo fattore
con la sostituzione si ottiene:
i(x^2+y^2)-4+i=0
come risolvo questa equazione
aiutatemi sto impazzito
grazie.
TeM
TeM - Eliminato - 23454 Punti
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# insule23 : con la sostituzione si ottiene:
i(x^2+y^2)-4+i=0
Perfetto.

# insule23 : i(x^2+y^2)-4+i=0
come risolvo questa equazione
Sta scritto nel mio post precedente. Ossia

[math]i\left(x^2+y^2\right)-4+i=0 \; \Leftrightarrow \; x^2+y^2 = \frac{4-i}{i}\\[/math]

e a questo punto occorre razionalizzare il termine a membro destro.

Lo sai fare? :)
insule23
insule23 - Sapiens - 508 Punti
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scusa ma sto avendo difficoltà a farlo...
poi come faccio con il fattore
[math](x^2+y^2 )[/math]
..
mi puoi aiutare..grazie
TeM
TeM - Eliminato - 23454 Punti
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Quando hai razionalizzato ne discutiamo.
insule23
insule23 - Sapiens - 508 Punti
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razionalizzando ottengo che:
[math]\frac{4-i}{i}=-1-4i[/math]

e quindi ottengo
[math]x^2+y^2 = -1-4i[/math]

come risolvo quest'ultima equazione...
aiutatemi..grazie
TeM
TeM - Eliminato - 23454 Punti
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# insule23 : e quindi ottengo
[math]x^2+y^2 = -1-4i[/math]
Ohhh ... certo che bisogna tirartele fuori con le pinze le cose a te :D

A questo punto ti aiuto con estremo piacere. Nota che si ha

[math]\begin{align} x^2+y^2=-1-4\,i \; & \Leftrightarrow \; \left(x^2+y^2\right)+i\,0=(-1)+i\,(-4) \\ & \Leftrightarrow \; \begin{cases} x^2 + y^2 = - 1 \\ 0=-4 \end{cases} \; \Rightarrow \; Sol = \{\}\end{align}[/math]

o ancora più semplicemente, ricordando che avevamo definito x, y come reali,
la somma dei loro quadrati non potrà mai essere pari ad un numero complesso,
esterno all'insieme dei reali. :)

A questo punto mostra i passaggi per il primo fattore e dato che hai mostrato
di saper razionalizzare molto bene esigo il passaggio :D
insule23
insule23 - Sapiens - 508 Punti
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quindi l'equazione
[math]x^2+y^2 = -1-4i[/math]

non ha soluzioni reali
giusto ??

Per quanto riguarda il primo fattore
[math]\left ( z^4-\frac{1-i}{1+i} \right )[/math]

abbiamo che:

[math]z^4=\left ( \frac{1-i}{1+i} \right )[/math]

quindi dobbiamo calcolare le radici quarte di
[math]\frac{1-i}{1+i}[/math]

che razionalizzando diventa:
[math]\frac{1-i}{1+i}\cdot \frac{1-i}{1-i}=\frac{1-i-i+i^2}{1-i+i-i^2}=\frac{1-2i-1}{1+1}=\frac{-2i}{2}=-i[/math]

quindi dobbiamo trovare le radici quarte di -i che sono:
[math]z_{0}=cos\left ( -\frac{\pi }{8} \right )+ i sen \left ( -\frac{\pi }{8} \right )[/math]
[math]z_{1}=cos\left ( \frac{3\pi }{8} \right )+ i sen \left ( \frac{3\pi }{8} \right )[/math]
[math]z_{2}=cos\left ( -\frac{7\pi }{8} \right )+ i sen \left ( \frac{7\pi }{8} \right )[/math]
[math]z_{3}=cos\left ( -\frac{11\pi }{8} \right )+ i sen \left ( \frac{11\pi }{8} \right )
[/math]

è giusto??? fammi sapere....
TeM
TeM - Eliminato - 23454 Punti
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# insule23 : quindi l'equazione
[math]x^2+y^2 = -1-4i[/math]

non ha soluzioni reali
giusto ??
Giusto. Ne consegue che il secondo fattore dell'equazione in oggetto non si annulla mai
(per alcun numero nel campo complesso).

# insule23 : Per quanto riguarda il primo fattore
[math]\left ( z^4-\frac{1-i}{1+i} \right )[/math]

abbiamo che:

[math]z^4=\left ( \frac{1-i}{1+i} \right )[/math]

quindi dobbiamo calcolare le radici quarte di
[math]\frac{1-i}{1+i}[/math]

che razionalizzando diventa:
[math]\frac{1-i}{1+i}\cdot \frac{1-i}{1-i}=\frac{1-i-i+i^2}{1-i+i-i^2}=\frac{1-2i-1}{1+1}=\frac{-2i}{2}=-i[/math]
Molto bene :)

# insule23 : quindi dobbiamo trovare le radici quarte di -i che sono:
[math]z_{0}=cos\left ( -\frac{\pi }{8} \right )+ i sen \left ( -\frac{\pi }{8} \right )[/math]
[math]z_{1}=cos\left ( \frac{3\pi }{8} \right )+ i sen \left ( \frac{3\pi }{8} \right )[/math]
[math]z_{2}=cos\left ( -\frac{7\pi }{8} \right )+ i sen \left ( \frac{7\pi }{8} \right )[/math]
[math]z_{3}=cos\left ( -\frac{11\pi }{8} \right )+ i sen \left ( \frac{11\pi }{8} \right )
[/math]

è giusto??? fammi sapere....
Sì, è giusto. Meglio, ci sono un paio di errori di distrazione/battitura nei coseni di
[math]z_2[/math]
e
[math]z_3[/math]
dato che hai messo dei segni meno che non ci andavano (come hai scritto correttamente nei seni).

In sostanza, la soluzione dell'equazione in esame è data da
[math]z_0,\,z_1,\,z_2,\,z_3[/math]
. Qualora ti potesse interessare, tramite le formule di bisezione, si può risalire al valore algebrico del coseno di
[math]-\pi/8[/math]
che risulta pari a
[math]\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}[/math]
. A quel punto, tramite la periodicità di tali funzioni, si può risalire al valore di tutti gli altri. :)
insule23
insule23 - Sapiens - 508 Punti
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si è vero errore di distrazione..
grazie mille..
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