Mii_
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Determina l'equazione dell' iperbole avente fuoco S(0;- radice quadrata di 5)e passante per P ( 1;radice quadrata di 2 )
bimbozza
bimbozza - Genius - 19548 Punti
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l'equazione generica dell'iperbole cercata è
[math]\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=-1[/math]
.
Dalla coordinata del fuoco si ricava:
[math]\sqrt{5}= \sqrt{a^2+b^2}[/math]
.
Imponiamo il passaggio per P sostituendo nell'equazione generica le sue coordinate
[math]\frac{1^2}{a^2}-\frac{\sqrt{2}^2}{b^2}=-1[/math]
.
mettiamo in sistema le due equazioni trovate:
[math]\left{
\frac{1}{a^2}-\frac{2}{b^2}=-1\\
5=a^2+b^2\\
[/math]

[math]\left{
\frac{1}{5-b^2}-\frac{2}{b^2}=-1\\
a^2=5-b^2\\
[/math]

[math]\left{
\frac{b^2-10+2b^2-5b^2+b^4}{b^2(5-b^2)}=0\\
a^2=5-b^2\\
[/math]

[math]\left{
\frac{-10+8b^2-b^4}{b^2(5-b^2)}=0\\
a^2=5-b^2\\
[/math]

la prima equazione ha due soluzioni cioè
[math]b^2=4 \pm \sqrt6[/math]
quindi abbiamo 2 iperboli:
per
[math]b^2= 4+ \sqrt{6}[/math]
abbiamo
[math]a^2=1- \sqrt{6}[/math]
per
[math]b^2= 4- \sqrt{6}[/math]
abbiamo
[math]a^2=1+ \sqrt{6}[/math]
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