Marko.19
Marko.19 - Habilis - 232 Punti
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ciao a tutti, ho un problema con questa equazione differenziale:

y''' + y' = cos(2x)

Ho trovato (non so se in maniera del tutto corretta) che l'integrale generale di tale equazione è

y(x, c1, c2, c3)= c1 + c2 cosx + c3 senx - 1/10 sen(2x)

con c1, c2, c3 costanti reali arbitrarie.

Una domanda aggiuntiva chiedeva però di trovare le curve integrali dell'equazione differenziale che nell'origine hanno tangente orizzontale.
Ciò che sono riuscito a capire è che le curve passano per l'origine e quindi y(0)=0 e che hanno retta tangente orizzontale ovvero y'(0)=0.
Ora,nel pratico come trovo tali curve (che sono infinite alla 1, poichè le condizioni iniziali sono solo 2 mentre l'equazione è di ordine 3) a partire dall'integrale generale che ho trovato?

grazie in anticipo a chi mi risponderà :)
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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Dunque, risolvo velocemente tutto da capo giusto per vedere se i mie e i tuoi ragionamenti collimano. Dunque, l'equazione algebrica associata all'equazione omogenea è

[math]\lambda^3+\lambda=0\quad\Longrightarrow \lambda=0,\ \lambda=\pm i[/math]

e quindi la soluzione della parte omogenea è

[math]\bar{y}(x)=A\sin x+B\cos x+C[/math]
.
Per determinare la soluzione particolare, la posso scegliere della forma

[math]y_P=a\cos(2x)+b\sin(2x)[/math]

da cui, derivando

[math]y'=-2a\sin(2x)+2b\cos(2x),\ y''=-4a\cos(2x)-4b\sin(2x),\ y'''=8a\sin(2x)-8b\cos(2x)[/math]

e quindi

[math]y'''_P+y'_P=(8a-2a)\sin(2x)+(-8b+2b)\cos(2x)=\cos(2x)[/math]

che implica
[math]a=0,\ b=-1/6[/math]
, e quindi la soluzione particolare è
[math]y_P=-\frac{1}{6}\sin(2x)[/math]
.
La soluzione generale dell'equazione è allora

[math]y(x)=A\cos x+B\sin x+C-\frac{1}{6}\sin(2x)[/math]

che, come puoi notare, è lievemente diversa da quella che hai trovato tu.

Per la seconda domanda, vediamo che le condizioni
[math]y(0)=0,\ y'(0)=0[/math]
si traducono nelle seguenti:
[math]y(0)=A+C=0,\qquad y'(0)=(-A\sin x+B\cos x-1/3\cdot\cos(2x))|_{x=0}=B-1/3=0[/math]

e quindi
[math]A=-C,\ B=1/3[/math]
, da cui
[math]y(x)=A(\cos x-1)+\frac{1}{3}\sin x-\frac{1}{6}\sin(2x)[/math]

che puoi riscrivere, ricordando che
[math]\sin(2x)=2\sin x\cos x[/math]

[math]y(x)=A(\cos x-1)+\frac{1}{3}\sin x(1-\cos x)=\frac{1}{3}(1-\cos x)(\sin x-3A)[/math]

che come vedi sono infinite curve dipendenti da un parametro (
[math]A[/math]
).
Marko.19
Marko.19 - Habilis - 232 Punti
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grazie infinite! in realtà avevo commesso uno stupido errore di segno, per questo mi usciva l'integrale particolare della completa leggermente diverso. Grazie dell'aiuto!! :move
BIT5
BIT5 - Mito - 28446 Punti
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Bene, ciampax risponde, io chiudo (almeno questo :satisfied)
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