miik91
miik91 - Sapiens Sapiens - 811 Punti
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Determinare le soluzione della seguente equazione in modo che abbia almeno una soluzione di modulo 2:

[math]{z^5=k\bar{z}}[/math]
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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Mmmmmm......

Allora, tu vuoi che almeno una soluzione abbia modulo due: cioè
[math]|z|=2[/math]
. Ora, ricorda che
[math]|\bar{z}|=|z|,\qquad |z^n|=|z|^n[/math]

e quindi

[math]|z|^5=|k|\cdot |z|\ \Rightarrow\ |k|=|z|^4=16[/math]

Questo vuol dire che, se
[math]k\in\mathbb{R}[/math]
, allora
[math]k=\pm 16[/math]
.
Se invece
[math]k\in\mathbb{C}[/math]
allora, posto
[math]k=a+ib[/math]
deve essere
[math]\sqrt{a^2+b^2}=16[/math]

per cui hai infinite possibilità di scelta, ovvero tutti i numeri complessi che si trovano sulla circonferenza di centro l'origine e raggio
[math]16[/math]
.
A questo punto però, se vuoi risolvere l'equazione con la forma algebrica dei numeri complessi, puoi anche comprare una pistola e spararti, perché viene fuori un sistema di due equazione di grado 5 difficilmente semplificabili.

Se vuoi ti scrivo la soluzione con la forma esponenziale.
miik91
miik91 - Sapiens Sapiens - 811 Punti
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no grazie non serve, come sempre sei stato perfetto. K è un reale quindi mi serve il primo ragionamento; in effetti non pensavo fosse così semplice, ma soprattutto perchè non ero a conoscenza delle annotazione che hai fatto come premessa e che credo potrebbero essermi utile, quindi infinitamente grazie due volte!!
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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Sono le proprietà fondamentali del modulo di un numero complesso. Le puoi dimostrare molto facilmente.
miik91
miik91 - Sapiens Sapiens - 811 Punti
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aspetta però guardando meglio ho notato che c è una cosa che non mi è molto chiara:
tu hai scritto che
[math]{|z^5|=|z|^5}[/math]
, però nella traccia c è z^5 ma non credo che
[math]{z^5=|z|^5}[/math]
, non so se mi sono spiegato...dov è che sbaglio ??? hai fatto il modulo di tutti i valori per caso??
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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Naaaa.....

Una formual ti dice che
[math]|z^n|=|z|^n[/math]
per qualsiasi
[math]n[/math]
. Ho usato quella.
miik91
miik91 - Sapiens Sapiens - 811 Punti
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si quel passaggio l ho capito, il fatto è che nella traccia non ho il modulo di z^5, ma solo z^5!
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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Allora non hai seguito il mio ragionamento: io ho preso la tua equazione e ne ho fatto il modulo, anche perché è quello che ti interessava.
miik91
miik91 - Sapiens Sapiens - 811 Punti
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ah ecco mi ero perso il fatto che avessi fatto il modulo di tutta l equazione, ora è tutto chiaro. Grazie mille!!!
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