miik91
miik91 - Sapiens Sapiens - 811 Punti
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Salve a tutti. Potreste aiutarmi a risolvere questa equazione in quanto il mio risultato non coincide con la soluzione??

[math] |z|^2 |z+2|=|z|^3 [/math]

la soluzione dice che x=-1/2. Qualcuno mi aiuta??

visto che mi trovo evito di aprire altri 3D sempre uguali e posto qualche altro esercizio qui. Su questi non so proprio come mettere mano, ho provato in tutti i modi, ma non so proprio come risolverli.

1 Trovare le radici dell equazione
[math] z^4+iz^3-8iz+8=0 [/math]
sapendo che essa ammtte almeno una radice immaginaria pura.
2 disegnare nel piano complesso gli insiemi:
[math] A \left\{ z \in C: |Re(z)|=Im(z)\right\}[/math]
[math] B \left\{ w \in C: w=z^2, z \in A \right\} [/math]
[math] C \left\{ u \in C: u^2=z ,z \in A \right\} [/math]

3 Per quali valori di
[math] z \in C [/math]
il numero complesso
[math] w= \frac{z^5*\bar{z}}{2i} [/math]
è reale e di modulo 1 ?
4 Trovare l insieme delle soluzioni complesse della seguente equazione
[math]|\frac {1+iz}{1-iz} |=1 [/math]

5 Quando ha senso l equazione
[math] |z^2+1|=z-z^2 [/math]
?
Domani ho l esame di analisi !!! Vi prego aiutatemi a risolvere questi ultimi dubbi.
Grazie in anticipo a chiunque mi darà una mano.
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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Per la prima, una soluzione è ovviamente
[math]z=0[/math]
. Se dividi per
[math]|z|^2[/math]
allora ottieni l'equazione
[math]|z+2|=|z|[/math]

e sostituendo
[math]z=x+iy[/math]

[math]\sqrt{(x+2)^2+y^2}=\sqrt{x^2+y^2}[/math]

da cui

[math](x+2)^2+y^2=x^2+y^2\ \Rightarrow\ x^2+4x+4=x^2\ \Rightarrow\ 4x+4=0\ \Rightarrow\ x=-1[/math]

e visto che non c'è nessuna restrizione alla scelta di
[math]y[/math]
ottieni le infinite soluzioni
[math]z=-1+iy,\qquad y\in\mathbb{R}[/math]


2) Il fatto che una radice sia immaginaria pura vuol dire che è della forma
[math]z=ia,\ a\in\mathbb{R}[/math]
. Se sostituisci ottieni
[math]i^4 a^4+i^4 a^3-8i^2 a+8=0\ \Rightarrow\ a^4+a^3+8a+8=0[/math]

e quindi raccogliendo

[math]a^3(a+1)+8(a+1)=0\ \Rightarrow\ (a+1)(a^3+8 )=0\ \Rightarrow\ (a+1)(a+2)(a^2-2a+4)=0[/math]

Allora, dal momento che il polinomio di secondo grado in a non ha radici reali, le soluzioni possibili sono

[math]a=-1,\ a=-2\ \Rightarrow\ z=-i,\ z=-2i[/math]
.
Puoi allora dividere il polinomio dato per
[math](z+i)[/math]
ottenendo
[math]z^4+iz^3-8iz+8=z^3(z+i)-8i(z+i)=(z+i)(z^3-8i)[/math]

e poi, applicando Ruffini puoi dividere per
[math]z+2i[/math]
ottenendo
[math]\begin{array}{c|ccc|c}
& 1 & 0 & 0 & -8i\\ & & & & \\ & & & & \\ -2i & & -2i & -4 & 8i\\ \hline & 1 & -2i & -4 & 0
\end{array}[/math]

da cui

[math]z^4+iz^3-8iz+8=(z+i)(z+2i)(z^2-2iz-4)=(z+i)(z+2i)(z-2i)^2=0[/math]

per cui le radici sono

[math]z=-i,\ z=-2i,\ z=2i (doppia)[/math]

2) Il primo ti dà il grafico della funzione

[math]y=|x|[/math]
se poni
[math]z=x+iy[/math]

Per il secondo, visto che
[math]A=\{z=x+i|x|\}[/math]
allora
[math]w=z^2=x^2-|x|^2+2ix|x|=2i x|x|[/math]

che quindi ti dà tutti i numeri immaginari puri (x varia su tutto R).

Per il terzo, ci penso dopo che mi viene un casino di conti!


3) Se vuoi che quell'affare sia reale di modulo 1, vuol dire che
[math]w=1[/math]
. Allora
[math]z^5\cdot \bar{z}=2i[/math]

per cui scritto il numero in forma esponenziale
[math]z=\rho e^{i\theta}[/math]

[math]\rho^5 e^{i5\theta}\cdot \rho e^{-i\theta}=2i\ \Rightarrow\ \rho^6 e^{4i\theta}=2i[/math]

Prendendo il modulo dell'eqauzione si ricava
[math]\rho^6=2[/math]
da cui
[math]\rho=\sqrt[6]{2}[/math]
. Inoltre deve essere
[math]e^{4i\theta}=i=\cos\frac{\pi}{2}+i\sin\frac{\pi}{2}=e^{i\pi/2}[/math]

da cui

[math]4\theta=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}[/math]

e quindi

[math]\theta_k=\frac{\pi}{8}+\frac{k\pi}{2},\qquad k=0,1,2,3[/math]

Le soluzioni sono allora

[math]z=\sqrt[6]{2} e^{i\theta_k}[/math]


4) Abbiamo banalmente

[math]|1+iz|=|1-iz|,\qquad |1-iz|\neq 0[/math]

La condizione di esistenza ti dice che
[math]1-iz\neq 0[/math]
e quindi che
[math]z\neq\frac{1}{i}=-i[/math]
.
Posto
[math]z=x+iy[/math]
ottieni
[math]\sqrt{(1-y)^2+x^2}=\sqrt{(1+y)^2+x^2}\ \Rightarrow\ (1-y)^2+x^2=(1+y)^2+x^2[/math]

e quindi

[math]1-2y+y^2=1+2y+y^2\ \Rightarrow y=0[/math]

e non essendoci richiese sulle x, le infinite soluzioni

[math]z=x\in\mathbb{R}[/math]


5) Poiché il modulo è un numero reale positivo, l'equazione ha senso quando anche
[math]z-z^2[/math]
lo è. Se scrivi
[math]z=x+iy[/math]
allora devi avere che
[math]z-z^2=x+iy-(x^2-y^2+2ixy)=x-x^2+y^2+i(1-2x)y[/math]

sia reale e positivo e quindi che

[math](1-2x)y=0,\qquad x-x^2+y^2\geq 0[/math]

Dalla prima, devi avere che
[math]y=0,\ x=1/2[/math]

Se
[math]y=0[/math]
allora
[math]x-x^2\geq 0[/math]
che è verificato per
[math]0\leq x\leq 1[/math]

se invece
[math]x=1/2[/math]
allora si ha
[math]\frac{1}{4}+y^2\geq 0[/math]
che è sempre verificato.
L'equazione ha allora senso per tutto l'intervallo della forma
[math][0,1][/math]
dell'asse reale e per la retta di equazione
[math]x=\frac{1}{2}[/math]

In bocca al lupo per l'esame.

Questa risposta è stata cambiata da ciampax (26-01-10 21:45, 6 anni 10 mesi 15 giorni )
miik91
miik91 - Sapiens Sapiens - 811 Punti
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Crepi il lupo e grazie milleeeeeee!!!! Davvero non so come ringraziarti, mi hai aiutato un sacco e come già t ho detto se l esame andrà bene sarà anche per merito tuo. GRAZIE ancora!!!!

Aggiunto 33 minuti più tardi:

scusa ho solo un altro paio di domande.
Nel primo sbaglio o c è un piccolo errore nell sviluppo del quadrato del binomio??
nel terzo non dovrebbe uscire
[math] \theta =\frac{\pi}{8} +k \frac{\pi}{2} [/math]
??
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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