aleio1
aleio1 - Mito - 18949 Punti
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Come potete osservare dal titolo, ho questo dubbio amletico. In un'equazione o in una disequazione (di qualsiasi grado), è sempre lecito elevare entrambi i membri ad una potenza pari?? In quali circostanze ciò può avvenire??

***Mi riferisco in particolare alle equazioni irrazionali***

Questa risposta è stata cambiata da Pillaus (19-12-06 03:06, 9 anni 11 mesi 22 giorni )
Pillaus
Pillaus - Genius - 7338 Punti
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Il dubbio è più che lecito, perché infatti non è sempre lecito :D

Ti faccio un po' di esempi.
se io dico radicedi( x + 3 ) = 1 + x e elevi entrambi i membri al quadrato, ottieni
x + 3 = (1 + x)^2
x + 3 = x^2 + 2x + 1
x^2 + x - 2 = 0
x1 = 1, x2= -2

se però vai a sostituire, ti accorgi che x1 è davvero soluzione (infatti radicedi(4) = 2), ma x2 no (perché radice(1) diverso da -1)!

perché?

il discorso è questo. Se tu prendi un'equazione di primo grado (ad esempio x = 1) e elevi entrambi i membri al quadrato (e diventa x^2 = 1) acquisisci soluzioni che prima non c'erano (in questo caso, -1). Quando ci sono le radici il problema è lo stesso. Cioè, elevi al quadrato e trovi sia le soluzioni vere sia quelle che ti vengono perché hai elevato al quadrato. Per eliminarle puoi sfruttare il fatto che una radice di indice pari è sempre positiva, dunque nell'equazione di sopra se radicedi(x + 3) > 0 (e lo è per il semplice fatto che è una radice pari), allora anche 1 + x > 0; dunque x > -1, e così infatti scarti la soluzione di troppo.

Altro esempio: radicedi(1 - x) = x + 1
elevo al quadrato ma ricordo che x +1 > 0 ==> x > -1
1 - x = x^2 + 2x + 1
x^2 + 3x = 0
x1 = 0, x2 = -3
scarto x2 perché x2 < -1

Con le disequazioni devi stare un po' più in campana, a seconda che hai radice( ) > ( ) oppure radice( ) < ( )

Caso 1:
radice(x + 3) > 1 + x
Intanto, siccome la radice è positiva, se il secondo membro è negativo è sicuramente minore, quindi va bene; un po' di soluzioni le prendo dunque dicendo 1 + x < 0 e x + 3 >= 0 (la radice deve esistere), dunque -3 <= x < -1
In caso contrario (quando 1 + x > 0) elevo al quadrato, ottengo x + 3 > (1 + x)^2
x^2 + x - 2 < 0
-2 < x < 1 che messa insieme alla condizione mi dà -1 < x < 1
mettendo insieme i due, ottengo -3 <= x < 1 (però diverso da -1)

Caso 2:
radicedi(1 - x) < x + 1
qui è più facile, basta che ricordi che il secondo membro dev'essere positivo (x + 1 > 0) e che la radice deve esistere (1 - x >= 0), quindi -1 < x <= 1
ora elevo al quadrato
1 - x < x^2 + 2x + 1
x^2 + 3x > 0
x < -3 oppure x > 0
a sistema con le condizioni di sopra viene
0 < x <= 1

Spero di essere stato chiaro... è un po' tardi e comincio a vacillare... uno specchietto lo trovi qui, ma se hai altri dubbi fammi sapere!
SnuSniuk
SnuSniuk - Genius - 8075 Punti
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