indovina
indovina - Genius - 5427 Punti
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Ciao a tutti

Ho queste due serie, che ho risolto ma vorrei che ci date una occhiata:
[math]nlog((n+2)/n)=n*log(1+2/n)=n*2/n[/math]
è divergente
[math]((2^n)+n)/((3^n)+1)=((2^n)/((3^n)+1))+n/((3^n)+1)[/math]

[math](2/3)^n[/math]
converge
[math](n)/(3^n)=n(1/3)^n[/math]
converge
la serie converge

non sono sicurissima su ciò che ho fatto, mi farebbero piacere dei 'chiarimenti'.

grazie in anticipo
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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Ma sono serie o limiti di successioni? Se sono serie, non capisco sinceramente che tipo di "criteri" tu stia cercando di utilizzare! Ad esempio per la prima hai

[math]\sum_{n=1}^{+\infty} n\cdot\log\left(1+\frac{1}{n}\right).[/math]

Ora il termine generale si può riscrivere come

[math]n\cdot\log\left(1+\frac{1}{n}\right)=\log\left(1+\frac{1}{n}\right)^n[/math]

e il suo limite per
[math]n\to+\infty[/math]
vale
[math]\log e=1[/math]

per cui la serie non converge (quello che hai scritto tu, con quella specie di confronto asintotico, non ha senso!)
indovina
indovina - Genius - 5427 Punti
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ah...ecco
quindi usare il confronto asintotico qui, non va per niente...

per la seconda cosa mi suggerisci?

comunque, si sono serie, e devo trovare il loro carattere.
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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Nel secondo caso hai

[math]a_n=\frac{2^n+n}{3^n+1}=\frac{2^n\left(1+n/2^n\right)}{3^n\left(1+1/3^n\right)}\to \left(\frac{2}{3}\right)^n\to 0[/math]

quindi la serie potrebbe convergere. Se applichi il criterio della radice ottieni

[math]\lim_{n\to+\infty} \sqrt[n]{a_n}=\lim_{n\to+\infty} \frac{2}{3}\cdot\frac{1+n/2^n}{1+1/3^n}=\frac{2}{3}<1[/math]

per cui la serie converge.


Per la terza, di nuovo usando il criterio della radice trovi

[math]\lim_{n\to+\infty}\sqrt[n]{\frac{n}{3^n}}=\lim_{n\to+\infty} \frac{\sqrt[n]{n}}{3}=\frac{1}{3}<1[/math]

e quindi la serie converge.
indovina
indovina - Genius - 5427 Punti
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quindi in particolare

[math]1/3^n ->0
n/2^n ->0[/math]

[math](2/3)^n[/math]
è una serie geometrica di ragione
[math]<1[/math]

giusto?

Aggiunto 2 minuti più tardi:

e anche un altra cosa:

per
[math]n->+oo[/math]
[math]n^1/n[/math]
è
[math]1[/math]
?
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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Esatto a tutte le domande. Una cosa: guardavo la tua frase e mi chiedevo: esti romanca? :asd
indovina
indovina - Genius - 5427 Punti
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Off-topic
No, non sono rumena, ma ho imparato il romeno per due anni di seguito e tuttora cerco di impararlo, insieme ad altre lingue dell'est (russo specialmente)
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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:asd Bene! Qui posso chiudere?
indovina
indovina - Genius - 5427 Punti
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Si, grazie per l'aiuto.
:)
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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Chiudo.
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