AvrilBoi
AvrilBoi - Sapiens - 420 Punti
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dominio x diverso da 1/2
positività x compreso fra 1/2 e 5
limite per x che tende a + o - = -
Non c'è asintoto obliquo.
x=1/2 asintoto verticale aldo destra basso sinistra.
Cresce per x<=0 e x compreso fra 5/4 e 2. Quindi x=0 e x=2 massimi, x=5/4 minimo. f(0)=0 f(2)=4 e f(5/4)=125/32
Poi dice:
indicato con Q il punto di f di ascissa 5 e con s la generica retta del fascio di centro Q, determina le coordinate dei punti di contatto delle rette passanti per Q e tangenti a f.
I punti sono lo stesso punto (5,0), graficamente si vede il punto (0,0), e per calcolare il terzo punto ho calcolato il coefficiente angolare con la formula (y-y0)/(x-x0). E al posto di P(x0,y0) ho messo Q(5,0), per quanto riguarda la x ho lasciato la x, e al posto di y ho messo la funzione .
Poi ho eguagliato questo coefficiente angolare tutto in funzione di x alla derivata prima della funzione, e i risultati sono x=0 e x=5/6. Il libro porta come risultati invece solo i punti (0,0) e (1,4).
Poi dice: detti M ed N gli ulteriori punti di intersezione di f con una generica retta s secante, determina il luogo L descritto dal punto medio del segmento MN al variare di s.
Calcola l'area della regione finita di piano limitata da L e da f.
Il calcolo dell'area dovrei essere in grado di farlo, ma non so proprio come procedere per il luogo dei punti... qualche aiuto?
Ora posto l'altra funzione...
issima90
issima90 - Genius - 18666 Punti
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metti ad intersezone la retta secante con la funzione....er quanto riguarda la retta secante dovresti porre ildelta della funzione maggiore di zero..peno sia così...trovi le due soluzioni e puoi continuare!
AvrilBoi
AvrilBoi - Sapiens - 420 Punti
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Ok grazie ora ci provo...
Dopo aver studiato la funzione f(x)=x-2ln|x| ed averne costruito il grafico, verifica che tutte le rette di equazione y=x+k (con k numero reale qualsiasi) tagliano la curva in due punti Med N e determina il luogo descritto dal punto medio di MN al variare di k.
Calcola poi la lunghezza l(k) del segmento MN:, quando k descrive l'insieme dei numeri naturali le lunghezze l(k) formano una successione il cui primo termine è l0. dimostra che la successione è una progressione geometrica e indicane la ragione.
Calcola infine l'area A(m) della regione di piano individuata dalle condizioni 1<=x<=m (con m>=1) e f(x) <= y <= x e determina il valore di m per il quale risulta A(m)=2.
Sono arrivato fino al calcolo della lunghezza l(k) di MN, poi mi sono bloccato...
issima90
issima90 - Genius - 18666 Punti
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mmm...aspetta chiamo il collega....magari ci riesco ma faccio quinta anche io e avrei biogno di tempo che ora più di tanto non ho!scusa!
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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Allora, vediamo il primo:

le rette del fascio di centro Q(5,0) hanno equazione

[math]y=m(x-5)[/math]

Ora devi determinare quali di queste sono tangenti alla curva data. Poiché

[math]f'(x)=-{\frac {x \left( 4\,{x}^{2}-13\,x+10 \right) }{ \left( 2\,x-1
\right) ^{2}}}[/math]

l'equazione della generica retta tangente ad f passante per il punto
[math](\alpha, f(\alpha))[/math]
è
[math]y-f(\alpha)=f'(\alpha)(x-\alpha)[/math]

Basta allora vedere quali di queste rette passano per il punto Q: devi quindi studiare l'equazione in
[math]\alpha[/math]

[math]-f(\alpha)=f'(\alpha)(5-\alpha)[/math]

Ottieni le soluzioni
[math]\alpha=0,\quad 1,\quad 5[/math]
. Ovviamente
[math]\alpha=5[/math]
dà il punto Q, mentre per gli altri due valori ottieni i punti
[math]O(0,0),\quad A(1,4)[/math]
che sono le cordinate cercate!
Ora considera una generica retta del fascio passante per Q e metti la sua equazione a sistema con l'equazione
[math]y=f(x)[/math]
. Le soluzioni, che dipendono da m, sono
[math]x=5,\qquad x=-m\pm\sqrt{m^2+m}[/math]

Quindi abbiamo i punti di coordinate

[math]M\left(-m-\sqrt{m^2+m},-{\frac { \left( m+\sqrt {m \left( m+1 \right) } \right) ^{2} \left( m
+\sqrt {m \left( m+1 \right) }+5 \right) }{2\,m+2\,\sqrt {m \left( m+1
\right) }+1}}\right)\\
N\left(-m+\sqrt{m^2+m},-{\frac { \left( -m+\sqrt {m \left( m+1 \right) } \right) ^{2} \left(
-m+\sqrt {m \left( m+1 \right) }-5 \right) }{-2\,m+2\,\sqrt {m \left(
m+1 \right) }-1}}\right)
[/math]

(perdonami se non ti faccio tutti i conti ma se no non la finiamo più!) Osserva che tutto ciò è lecito solo se l'argomento della radice è non negativo (e quindi per
[math]m\leq -1,\quad m\geq 0[/math]
).
A questo punto le coordinate del punto medio tra M ed N sono date dalla semi somma delle loro coordinate e quindi

[math]P_{MN}\left(-m,-m(m+5))[/math]

Allora le coordinate del punto medio hanno sempre la forma

[math]x=-m,\qquad y=-m(m+5)[/math]

da cui
[math]m=-x[/math]
e
[math]y=x(5-x)=5x-x^2[/math]

Per l'integrale credo tu possa fare da solo.

Per l'altro continuo dopo!
issima90
issima90 - Genius - 18666 Punti
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ok d'ora in poi nn mi impiccerò più di queste cose...nn ho ancora fatto null!
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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Il secondo.

Credo tu non abbia problemi con lo studio di funzione e a verificare la cosa sulle intersezioni (lo vedi dal grafico.) Per le intersezioni hai

[math]x-2\ln |x|=x+k[/math]

da cui

[math]\ln |x|=-\frac{k}{2}\qquad x=\pm e^{-k/2}[/math]

e quindi i punti
[math]M(e^{-k/2}, e^{-k/2}-k)[/math]
e
[math]N(-e^{-k/2}, -e^{-k/2}-k)[/math]
, da cui le coordinate del punto medio
[math]P_{MN}(0,-k)[/math]

e quindi l'equazione del luogo è
[math]x=0[/math]
.
Abbiamo poi

[math]\ell(k)=\sqrt{(e^{-k/2}+e^{-k/2})^2+(e^{-k/2}-k+e^{-k/2}+k)^2}=2\sqrt{2} e^{-k/2}[/math]

La successione

[math]\ell(n)=2\sqrt{2}\ e^{-n/2}[/math]

è tale che

[math]l(n+1)=2\sqrt{2}\ e^{-(n+1)/2}=2\sqrt{2}\ e^{-n/2}\ e^{-1/2}=e^{-1/2}\cdot\ell(n)[/math]

e quindi è una progressione geometrica di ragione
[math]q=e^{-1/2}[/math]
e primo termine
[math]\ell(0)=2\sqrt{2}[/math]
.
Per l'ultimo punto hai

[math]A(m)=\int_1^m\ (x-f(x))\ dx=\int_1^m\ 2\ln x\ dx=2+2\,m\ln \left( m \right) -2\,m[/math]

Da cui imponendo
[math]A(m)=2[/math]
trovi le soluzioni
[math]m=0,\ m=e[/math]
, di cui solo la seconda è accettabile.
AvrilBoi
AvrilBoi - Sapiens - 420 Punti
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Grazie
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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Prego. Chiudo!
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