silstar
silstar - Erectus - 142 Punti
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un'iperbole equilatera ha, rispetto ai suoi asintoti, l'equazione y= 4/x ; determinare l'equazione della stessa iperbole rispetto ad un secondo sistema di riferimento, traslato rispetto al primo ed avente l'origine nel punto O ( -2; 3).


per risolvere il problema io ho sostituito a xy=4 l'equazione della traslazione
X=x-2 da cui x=X+2
Y=y+3 da cui y= Y-3
solo che mi è venuto un dubbio.
Si doveva forse cambiare il segno del vettore e quindi X=x+2
Y=y-3? il mio prof durante l'anno, svolgendo questo tipo di esercizi, l'aveva cambiato ma non sempre. Quando bisogna cambiare il segno del vettore traslazione? . Grazie di tutto.
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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No, è come ha fatto silstar. In generale, se hai la traslazione di vettore
[math]v(a,b)[/math]
che manda l'origine
[math]O(0,0)[/math]
nella nuova origine
[math]O'(a,b)[/math]
le equazioni della traslazione sono
[math]x'=x+a,\qquad y'=y+b[/math]

e ti forniscono le coordinate di un punto nel nuovo sistema di riferimento in relazione a quelle nel vecchio sistema.

Nel tuo caso
[math]a=-2,\ b=3[/math]
, per cui
[math]x'=x-2,\quad y'=y+3[/math]

e quindi, come avevi giustamente scritto

[math]x=x'+2,\quad y=y'-3[/math]

da cui sostituendo nell'equazione

[math]y'-3=\frac{4}{x'+2}[/math]

e quindi

[math]y'=\frac{3x'+10}{x'+2}[/math]

che è l'equazione dell'iperbole nel nuovo sistema di riferimento. Puoi osservare che questa è giusta, considerando che l'iperbole ha un asintoto verticale originariamente nella retta
[math]x=0[/math]
(asse delle y) che si trasforma nell'asintoto del nuovo sistema
[math]x'=-2[/math]
(che sarebbe l'asse delle
[math]y'[/math]
).
Prova a fare un disegno e te ne renderai conto.
silstar
silstar - Erectus - 142 Punti
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:lolgrazie
il mio prof parlava anche traslazione di assi. qual'è la differenza con quella di vettore (a,b)?
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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Attenta a non fare confusione. La traslazione, per definizione, è una trasformazione geometrica che sposta un sistema di riferimento
[math]xOy[/math]
in un nuovo sistema di riferimento
[math]x' O' y'[/math]
traslando l'origine del sistema dal punto di coordinate
[math]O(0,0)[/math]
al nuovo punto
[math]O'(a,b)[/math]
, ed è quello che ti ho scritto più sopra.
Tale trasformazione permette di portare l'asse delle
[math]x[/math]
di equazione
[math]y=0[/math]
nel nuovo asse
[math]x'[/math]
di equazione
[math]y'=0[/math]
che equivale all'equazione nel vecchi sistema
[math]y=b[/math]
.
Analogamente ottieni una trasformazione dell'asse
[math]y[/math]
(
[math]x=0[/math]
) nell'asse
[math]y'[/math]
(
[math]x'=0[/math]
o equivalentemente
[math]x=a[/math]
).
In pratica la traslazione delgi assi che ottieni trasforma gli assi coordinati
[math]x=0,\ y=0[/math]
nelle rette
[math]x=a,\ y=b[/math]
del sistema di riferimento originale.
silstar
silstar - Erectus - 142 Punti
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ok grazie di tutto:lol:lol
BIT5
BIT5 - Mito - 28446 Punti
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bene, io allora chiudo..
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