BlackAngel
BlackAngel - Genius - 2009 Punti
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Ciao ragà, potreste spiegarmi bene come si riesce a determinare se un limite esiste o meno, pleaseeeeeeeee??
xico87
xico87 - Mito - 28236 Punti
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con la definizione:
sia f funzione, X il suo dominio, x0 pto di accumulazione per X, l € R U {infinito}.
diciamo che il limite (per x che tende a x0) di f(x) = l se per ogni intorno V di l, f(x) € V definitivamente per x che tende a x0.

traduzione
1) "per ogni intorno V di l, f(x) € V"
un intorno di l è un intervallo del tipo (l - e, l + e) con e arbitrario (caso di l finito). nota che f(x) appartiene a V solo se la distanza tra f(x) ed l è minore di e. in formule: |f(x) - l| < e.
per l = +infinito, l'intorno è del tipo (M, +infinito)

2) "definitivamente per x che tende a x0"
ovvero per ogni x appartenente ad un intervallo U\{x0} (sottoinsieme di X) intorno di x0: (x0 - d, x0 + d)\{x0}, con d arbitrario (caso di x0 finito). questo si traduce dicendo che la distanza tra x e x0 è minore di d, cioè |x-x0| < d

riassumendo, puoi asserire che esiste il limite se, per ogni e > 0 arbitrario, esiste un d > 0 tale che |f(x) - l| < e, per ogni x tale che |x-x0| < d
(nel caso che x0 e l siano finiti)

per i casi di infinito basta solo trovare gli intorni opportuni
BlackAngel
BlackAngel - Genius - 2009 Punti
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GRAZIE MILLE PER L'AIUTO!!

Poi volevo chiedere per favore come si utilizza il teorema del confronto. Per esempio considerando questo limite:

[math]\lim_{x \to \infty}[2^x(senx+2)][/math]
.
Quale dei tre teoremi del confronto posso utilizzare?? E per quale motivo??
xico87
xico87 - Mito - 28236 Punti
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ti riferisci al teorema dei due carabinieri? è solo uno..
semplicemente notando che in un intorno di infinito (ma in realtà vale sempre nel tuo caso) hai questo:

[math] 2^x(-1 + 2) \leq 2^x(\sin x + 2) \leq 2^x(1+2)[/math]

il termine "minorante" (quello più a sinistra) va a + infinito, il che è sufficiente per dire che il limite diverge
BlackAngel
BlackAngel - Genius - 2009 Punti
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Il mio libro sostiene che ci sono 3 casi: il 1 è il classico TEOREMA DEI CARABINIERI; il secondo invece sostiene che sia valido per due funzioni la seguente espressione |f(x)|<|g(x)| e che se g(x) tende a zero per x→ c, allora anche f(x) tende a zero per x→ c; il terzo invece sostiene che sia valido per due funzioni la seguente espressione |g(x)|>|f(x)| e f(x) tende all'infinito per x→ c, allora anche g(x) tende all'infinito per x→ c.

Quale dei tre posso usare per il mio caso??
issima90
issima90 - Genius - 18666 Punti
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allora i casi sono in realtà due..il teorema del confronto non può essere usato sempre..
allora avendo due successioni o due funzioni f(x) e g(x) con f(x)<g(x)
se g(x) è infinitesima essendo maggiore di f(x) anche f(x) lo è.
se f(x) è divergente (va a infinito), essendo minore di g(x) anche g(x) va all'inifinito!
spero di esserti stata utile
BlackAngel
BlackAngel - Genius - 2009 Punti
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Grazie, però vorrei sapere anche quale posso usare nel mio caso, potete aiutarmi per favore??
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