Geppetto92
Geppetto92 - Erectus - 51 Punti
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Ciao a tutti! sono nuovo qui ed avrei un paio di dubbi:
(premetto che frequento un tecnico e che domani ho un compito)
-La derivata di loga^x= 1/xlna vero? in internet ho trovato che corrisponde a 1/x come ln
-Studiando la regola de l' hopital ho notato che tre sono le forme di indeterminazione che ci interessano:
1)0/0 o infinito/infinito dove si applica direttamente de hopital fino a rimuovere l' indeteminazione
2)0 per infinito dove si trasforma f(x)g(x) in f(x)/1/g(x) o viceversa
3) infinito +infinito, noi la trattiamo facendo il m.c.m. ed applicando De H. mentre sempre su internet ho letto che bisogna mettere in evidenza.. come è più corretto fare?
- La formula x appartenente a (- infinito + infinito)-> a^x appartenente a (0 +infinito) ci può essere utile nello svolgere limiti indeterminati con De H.?
-Nel calcolo di funzione per trovare la crescenza e la decrescenza non ho problemi, finchè non ho trovato nella traccia anche e^x ad esempio: y=x-e^x; y=x^x^2+2x; e^x^2 -e^-x2. Come trattare e^x ? Perchè poi ln non lo teniamo in considerazione quando facciamo y'>0 ?

Mille Grazie in anticipo a chiunque risponderà!
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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Allora, procediamo con ordine:

La derivata è

[math]D[\log_a x]=\frac{1}{x\cdot\ln a}[/math]

(ovviamente quando
[math]a=e[/math]
ottieni la derivata del logaritmo naturale).

1) Con le forme indeterminate
[math]0/0,\ \infty/\infty[/math]
puoi effettivamente procedere direttamente al calcolo diretto, derivando le funzioni a numeratore e denominatore.
2) Non c'è una regola precisa: dipende dalle funzioni presenti: in generale le potenze conviene lasciarle sempre positive (sono più facili da derivare), come pure i logaritmi; gli esponenziali possono essere usati come vuoi, così come le funzioni trigonometriche (nella maggior parte dei casi);

3) Con la forma indeterminata
[math]\infty-\infty[/math]
, supponendo che
[math]\lim_{x\rightarrow x_0} f(x)=+\infty,\ \lim_{x\rightarrow x_0} g(x)=-\infty[/math]
, puoi usare una delle seguenti identità:
[math]\lim_{x\rightarrow x_0}\left[f(x)+g(x)\right]=\lim_{x\rightarrow x_0} f(x)\left(1+\frac{g(x)}{f(x)}\right)=\lim_{x\rightarrow x_0} g(x)\left(1+\frac{f(x)}{g(x)}\right)=\\
\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{[f(x)]^2-[g(x)]^2}{f(x)-g(x)}[/math]

4) No: quella rappresenta solo la relazione tra dominio e codominio della funzione esponenziale;

5) Innanzitutto, il termine esatto è monotonia, non crescenza e decrescenza (la crescenza è un formaggio fresco!). Ti dico in modo generale come occuparti dei casi in esempio:

(i)
[math]y=x-e^x[/math]
da cui
[math]y'=1-e^x>0[/math]
che implica
[math]e^x<1[/math]
e quindi
[math]x<0[/math]
: la funzione cresce su
[math](-\infty,0)[/math]
, decresce su
[math](0,+\infty)[/math]
ed ha un punto di massimo in
[math]x=0[/math]
con massimo
[math]f(0)=-1[/math]
;
(ii) suppongo che l'altra possa essere
[math]y=e^{x^2}-e^{-x^2}[/math]
: allora si ha
[math]y'=2x e^{x^2}+2x e^{-x^2}=2x(e^{x^2}+e^{-x^2})>0[/math]

e poiché quello che c'è tra parentesi è sempre positivo (la somma di due esponenziali) allora basta prendere
[math]x>0[/math]
. La funzione cresce allora su
[math](0,+\infty)[/math]
, decresce su
[math](-\infty,0)[/math]
ed ha un punto di massimo in
[math]x=0[/math]
con massimo
[math]f(0)=0[/math]
.
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