civicgirl
civicgirl - Erectus - 67 Punti
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Salve a tutti... qlcn potrebbe x favore aiutarmi a trovare il dominio di questa funzione?

[math]\frac{\sqrt{(2e^{-x}+e^x-3)}}{lg_2(x^2-4)-1}+cot(5x-1)[/math]

grazie a tutti
BIT5
BIT5 - Mito - 28446 Punti
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Il dominio di questa funzione e' determinato da:

(se hai una somma, valuta addendo per addendo)

primo addendo:

Parti dall'operatore piu' esterno e poi via via analizza internamente.

E' una frazione: Denominatore diverso da zero;

Radice al numeratore ==> radicando maggiore uguale a zero

Denominatore: logaritmo ==> argomento maggiore di zero

Secondo addendo: cotangente ==> argomento diverso da pigreco/mezzi + kpigreco.

Quindi

[math] \{ \log_2 (x^2-4)-1 \ne 0 \\ 2e^{-x}+e^x-3 \ge 0 \\ x^2-4 > 0 \\ 5x-1 \ne \frac{\pi}{2} + 2k \pi [/math]

La prima:

[math] \log_2 (x^2-4) \ne 1 \to \log_2 (x^2-4) \ne \log_22^1 \to x^2-4 \ne 2 \\ x^2-6 \ne 0(x- \sqrt6)(x+ \sqrt6) \ne 0 \to x \ne \pm \sqrt6 [/math]

La seconda

[math] \frac{2}{e^x} + e^x -3 \ge 0 \to \frac{2+e^{2x}-3e^x}{e^x} \ge 0 [/math]

Studio del segno del numeratore:

posto
[math] t=e^x [/math]
:
[math] N \ge 0 \to t^2-3t+2 \ge 0 \to (t-2)(t-1) \ge 0 \to t \le 1 \ U \ t \ge 2 [/math]

Da cui

[math] e^x \le 1 \to e^x \le e^0 \to x \le 0 [/math]

e

[math] e^x \ge 0 \to e^x \ge e^{ \log 2} \to x \ge \log 2 [/math]

Il denominatore della frazione e' sempre positivo (a qualunque esponente si elevi e, avremo sempre un valore positivo)

Comunque

[math] D>0 \to e^x>0 \forall x \in \mathbb{R} [/math]

Pertanto la seconda riga del sistema avra' come soluzione:

[math] x \le 0 \ U \ x \ge \log 2 [/math]

La terza:

[math] x^24 > 0 \to (x+2)(x-2)>0 \to x<-2 \ U \ x>2 [/math]

E infine l'ultima

[math] 5x-1 \ne \frac{ \pi}{2} + 2k \pi \to x \ne \frac{\pi + 2}{10}+ \frac15 k \pi [/math]

Facendo il grafico finale del sistema avrai:

(considera che log 2 e' compreso tra 1 e 2 )

[math] D: (- \infty,- \sqrt6) \ U \ (2, \sqrt6) \ U \ (\sqrt6, + \infty) - \{ \frac{ \pi + 2}{10} + \frac12 k \pi \} [/math]

Spero di non aver fatto errori di conto
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