indovina
indovina - Genius - 5427 Punti
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Vorrei capire 'praticamente' la differenza tra 'serie convergente' e 'serie convergente assolutamente'

Se un esercizio mi dice 'tra queste serie, quale converge e quale converge assolutamente'' da cosa lo capisco questa cosa?

potete farmi qualche esempio?
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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E' una semplice definizione: sia
[math]\sum_{n=1}^\infty a_n[/math]
una serie qualsiasi. Indichiamo con
[math]s_N=\sum_{n=1}^N a_n[/math]
la somma parziale
[math]N-[/math]
sima. Diremo che la serie converge se
[math]\lim_{N\to+\infty} s_N=s<\infty[/math]

Indichiamo poi con
[math]S_N=\sum_{n=1}^N |a_n|[/math]
le somme parziali dei valori assoluti. Diremo che la serie originale converge assolutamente se
[math]\lim_{N\to+\infty} S_N=S<\infty[/math]

E' facile provare il seguente risultato:
Se una serie converge assolutamente allora essa converge semplicemente e si ha
[math]|s|< S[/math]

Un paio di esempi:

1) la serie
[math]\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^n}{n^2}[/math]
converge assolutamente in quanto la serie dei valori assoluti è
[math]\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2}[/math]
la serie armonica generalizzata di esponente 2 che converge. Convergendo assolutamente, la serie converge semplicemente.
2) la serie
[math]\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^n}{n}[/math]
converge per il criterio di Leibniz sulle serie a termini di segno alterno. Tuttavia la serie dei valori assoluti è
[math]\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n}[/math]
la serie armonica classica che diverge. Quindi la serie converge, ma non converge assolutamente.
Un'ultima osservazione: la convergenza assoluta va usata solo quando i termini della serie non sono costanti (cioè quando i valori assunti da
[math]a_n[/math]
assumono sia segno positivo che negativo). Se la serie è a termini di segno costante (tutti positivi o tutti negativi) allora basta applicare i criteri di convergenza classici (rapporto, radice, confronto, confronto asintotico, Mac Laurin) per stabilire la semplice convergenza della serie (che, in tal caso, coincide con la convergenza assoluta).
Se hai altre domande, chiedi pure.
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