indovina
indovina - Genius - 5427 Punti
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Se devo cercare il dominio di una funzione del tipo:

[math]f(x)=(sin(x))^sqrt(2)[/math]

sono tutti i valori di R tranne quello che annulla il
[math]sin(x)[/math]
?

se invece fosse:

[math]f(x)=(sin(x))^x[/math]

è mettere
[math]sin(x)>0[/math]
?
scusate per le domande stupidi e banali, ma chiedo a voi, per sicurezza.
BIT5
BIT5 - Mito - 28446 Punti
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Se senx=0, abbiamo 0 elevato ad un esponente irrazionale che comunque da' zero (l'unico problema e' la forma 0^0, che non ti si crea mai..)

Siamo in una situazione del tutto simile a f(x)=x^2 nella quale non esistono limitazioni sul dominio.

Quindi nel primo il dominio e' tutto R.

Nel secondo e'opportuno porre senx>0 perche' avendo un esponente variabile, se l'argomento assume valori negativi, si avrebbe una situazione irrappresentabile a causa del comportamento anomalo delle basi negative a seconda dell'esponente positivo.

Ponendo senx>0 elimini anche la possibilita' di avere la forma indeterminata 0^0
indovina
indovina - Genius - 5427 Punti
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e se avessi anche tipo

[math](tg(2x-1))^pi[/math]

sempre tutto R?

e nella situazione:

[math](tg(2x-1)/(3-x))^pi[/math]

è tutto R tolto pero del punto
[math]x=3[/math]
?
riguardo al secondo prototipo, in ogni funzione che si trova cosi
[math](f(x))^x[/math]
pongo l'argomento maggiore di
[math]0[/math]
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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Ehm.... BIT non vorrei dare un duro colpo alle tue certezze (e neanche a quelle di indovina) ma state dicendo una cazzata immane. La funzione potenza ad esponente reale è definita se e solo se la base è positiva! Cioè, se
[math]\alpha\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}[/math]
allora
[math]f(x)=x^\alpha[/math]
è definito solo per
[math]x>0[/math]
.
Vi spiego anche il perché. Dalla definizione di funzione esponenziale uno ricava l'identità
[math]y=e^{\log y}[/math]
in quanto l'esponenziale e il logaritmo sono una la funzione inversa dell'altra. Ma allora la funzione potenza la potete scrivere come
[math]x^\alpha=e^{\log x^\alpha}=e^{\alpha\log x}[/math]

ed ovviamente il logaritmo è definito solo per
[math]x>0[/math]
.
Questo problema non si presenta con i numeri interi relativi o con le radici per una semplice questione di definizione di potenza: infatti

se
[math]n\in\mathbb{N}[/math]
definiamo
[math]x^n=\underbrace{x\cdot x\cdots x}_{n-volte}[/math]

e definiamo
[math]x^{-n}=\frac{1}{x^n}[/math]

Per definire le radici invece si procede dalla precedente in maniera inversa: se
[math]y=x^n[/math]
allora definiamo
[math]\sqrt[n]{y}=x[/math]

Vedete che queste definzioni provengono dalla definizione di potenza ad esponente intero. Ora, quante volte devo moltilplicare per se stessa
[math]x[/math]
per ottenere
[math]x^\pi[/math]
? Come vedete è un problema non riconducibile al caso delle potenze intere e si usano, pertanto, gli esponenziali.
P.S.: in realtà la definizione assiomatica si fa usando il limite notevole della successione che da valore uguale ad
[math]e[/math]
e sostituendo una opportuna successione infinita che dia la base e l'esponente cercato, ma è un discorso lunghissimo che si fa in un corso di analisi per matematici e non credo che siate interessati alla cosa.

Questa risposta è stata cambiata da ciampax (01-02-10 23:36, 6 anni 10 mesi 13 giorni )
BIT5
BIT5 - Mito - 28446 Punti
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Ops. Bene. Sbagliando si impara..
indovina
indovina - Genius - 5427 Punti
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Anche io sto chiarendo le idee.
Quindi se è del tipo:

[math]f(x)=(sin^2(x)+3sin(x)+1)^x[/math]

basta porre
[math](sin^2(x)+3sin(x)+1)>0[/math]

se ho invece
[math]e^(3x+1)[/math]
è sempre tutto
[math]R[/math]

giusto?
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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Esatto.
indovina
indovina - Genius - 5427 Punti
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Ciampax, non chiudere ancora questo topic, se me ne vengono altre di domande inerenti a questo topic di domande sugli insiemi di definizione, posto qui.

Aggiunto 1 minuti più tardi:

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