macaman
macaman - Erectus - 50 Punti
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ciao a tutti!ho un pò di problemi con le disequazioni logaritmiche,con base diversa.Conosco la formula da usare e mi riescono facilmente quando tutti i logaritmi (compreso quello con la base da cambiare) sono positivi,quando invece è negativo non so perchè ma mi esce sempre un risultato assurdo!?!
vi posto un esempio:
[math]log_2 x^2 -3log_4(x-1)>0[/math]

Questa risposta è stata cambiata da BIT5 (28-05-09 22:58, 7 anni 6 mesi 13 giorni )
BIT5
BIT5 - Mito - 28446 Punti
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[math]log_4(x-1)= \frac{log_2(x-1)}{log_24} = \\ \frac{log_2(x-1)}{2}[/math]

Pertanto

[math]log_2x^2-3log_4(x-1)>0 \\ log_2x^2-3 \frac{log_2(x-1)}{2}>0[/math]

[math]\frac{2log_2x^2-3log_2(x-1)}{2}>0[/math]

[math]2log_2x^2-3log_2(x-1)>0[/math]

Sappiamo che

[math]nlog_ab=log_ab^n[/math]

Pertanto

[math]log_2x^4>log_2(x-1)^3[/math]

Dal momento che la base del logaritmo è > 1, possiamo discutere semplicemente la disequazione tra gli argomenti (Nel caso la base fosse stata compresa tra 0 e 1, allora avremmo dovuto anche cambiare il verso della disequazione)
aleio1
aleio1 - Mito - 18949 Punti
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beh..premesso ovviamente x>1 hai log_2(x^2)=2log_4(x^2) quindi la disequazione diventa

log_4(x^2)^2>log_4(x-1)^3
macaman
macaman - Erectus - 50 Punti
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grazie mille per l'aiuto velocissimo,l'unico problema è che l'argomento del secondo log non era (x-1),ma solo x....poi c'è un +1 che è il termine noto
BIT5
BIT5 - Mito - 28446 Punti
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[math]log_2 x^2 -3log_4x +1>0[/math]

[math]log_4 x^4 -log_4x^3 +log_44>0[/math]

somma di logaritmi = logaritmo del prodotto......

[math]log_4x^4-(log_4x^3-log_44)>0 [/math]

[math]log_4x^4- log_4 \frac{x^3}{4}>0[/math]

[math]log_4 \frac{x^4}{ \frac{x^3}{4}}>0[/math]

[math]log_4 \frac{x^4}{4x^3}>log_41[/math]

[math]\frac{x}{4}>1[/math]

[math]x> \frac{1}{4}[/math]

(con x>0 quale argomento dei logaritmi iniziali (x^3 e x^4)
macaman
macaman - Erectus - 50 Punti
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grazie =)
BIT5
BIT5 - Mito - 28446 Punti
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chiudo! :hi
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