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Cronoblack - Erectus - 76 Punti
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Potreste aiutarmi qua spiegandomi i vari passaggi? Grazie!!

3x+1/rad(x^2+1)>1
BIT5
BIT5 - Mito - 28446 Punti
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[math] \frac{3x+1}{ \sqrt{x^2+1}} > 1 [/math]

Prima di tutto: campo di esistenza.
Radicando maggiore o uguale a zero e denominatore diverso da zero (e quindi semplicemente radicando maggiore di zero..)

[math] x^2+1 > 0 \forall x \in \mathbb{R} [/math]

Infatti se a un valore al quadrato (e quindi positivo o al piu' nullo) aggiungiamo ancora 1, otteniamo sempre un valore positivo.

Minimo comune multiplo:

[math] \frac{3x+1}{ \sqrt{x^2+1}} > \frac{ \sqrt{x^2+1}}{ \sqrt{x^2+1}} [/math]

A questo punto puoi agire in due modi.

Il metodo generale prevede che tu posrti tutto a sinistra e discuti prima numeratore e poi denominatore.

In questo caso pero', dal momento che il denominatore e' sempre positivo (c'e' una radice quadrata che, quando esiste (e in questo caso sempre) e' positiva, e quindi non interviene sul segno della frazione), si potrebbe tranquillamente semplificare.

Comunque, anche se piu' lunga, te la spiego con il metodo standard, ovvero che va sempre bene.

Porto tutto a sinistra

[math] \frac{3x+1- \sqrt{x^2+1}}{ \sqrt{x^2+1}} > 0 [/math]

Numeratore > 0

[math] 3x+1- \sqrt{x^2+1} > 0 \to - \sqrt{x^2+1}>-(3x+1) \to \sqrt{x^2+1}<3x+1 [/math]

Le disequazioni irrazionali sono di due forme.

[math] \sqrt{p(x)}>q(x) \\ \sqrt{p(x)}<q(x) [/math]

qui siamo nel secondo caso, che si risolve attraverso il sistema

[math] \{ p(x) \ge 0 \\ q(x)>0 \\ p(x)<q^2(x) [/math]

E dunque:

[math] \{ x^2+1>0 \\ 3x+1 >0 \\ x^2+1<(3x+1)^2 [/math]

la prima e' sempre verificata
la seconda e' verificata per
[math] x>- \frac13 [/math]

la terza:
[math] x^2+1<9x^2+6x+1 \to -10x^2-6x<0 \to 10x^2+6x>0 \to 2x(5x+3)>0 [/math]

E quindi

[math] x<- \frac35 \ U \ x>0 [/math]

Il sistema e' verificato dunque per x>0 e quindi il numeratore e' >0 per x>0

DENOMINATORE

Sempre positivo

E quindi la disequazione e' risolta (cercavamo >0) per x>0
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